by Tüm bölünebilme kurallarını tek tek incelediğimizde 11 ile bölünebilme kuralının diğerlerinden farklı olduğunu çok açık görebiliriz. 11’e bölünme kuralının nasıl uygulandığını verip daha sonra örneklerle pekiştirmeye çalışacağız. Hadi başlayalım.
11 ile bölünebilme kuralını nasıl uygularız?
Öncelikle sayımızı kaç basamaklı olursa olsun, aşağıdaki adımları uyguladığınız takdirde o sayının 11’e bölümünden kalanı rahatlıkla hesaplayabilirsiniz.
Artı-Eksi-Artı-Eksi.. Yöntemi
- Sayının birler basamağından (en sağdan) başlayarak sırasıyla +-+-+-… şeklinde iki gruba ayırın.
- (+) işaretli olanların toplamından (-) işaretli olanların toplamını çıkarın.
- Sonuç 0,1,2,3,…,9,10 sayılarından biriyse kalan o sayı olur.
- Sonuç negatif çıkarsa bulduğunuz sayıya 11 ekleyin. Son bulduğunuz 11’e bölümden kalan olur.
Örneğin 4528167 sayısının bölme yapmaya gerek kalmadan 11 ile bölümünden kalanını bulalım.
Birler basamağından başlayarak bir pozitif bir negatif olacak şekilde iki gruba ayırdık. Pozitif olanları ve negatif olanları ayrı ayrı toplayıp birbirinden çıkaracağız. Lütfen unutmayın, pozitif gruptakilerin toplamından negatif gruptakilerin toplamını çıkaracağız. Bu sırayı kaçırmayın
(4+2+1+7) – (5+8+6) = -5
Sonuç negatif tamsayı çıktı. Oysa kalan sayı negatif olmamalı. Bu yüzden -5’e 11 eklemeliyiz.
-5+11 = 6
Demek ki 4528167 sayısının 11 ile bölümünden kalan 6 olur.
Diğer sayılarda bölünebilme kurallarını gördünüz mü?
Tek-Çift-Tek-Çift… Yöntemi
Aslında yukarıdaki artı-eksi yöntemiyle bire-bir aynıdır. Sadece görsel olarak artı ve eksileri karıştırabilenler için farklı bir seçenek olsun istedik. Aşağıdaki adımları izleyerek 11 ile bölünebilme kuralını yapabilirsiniz.
- Birler basamağından (en sağdan) başlayarak rakamları 1’den itibaren numaralandırın.
- Tek numaralıların toplamından çift numaralıların toplamını çıkarın.
- Bulduğunuz sonuç 0,1,2,3,…,9,10 sayılarından her hangi biriyse kalan o sayı olur.
- Sonuç negatif çıkarsa sunuca 11 ekleyin. Son bulduğunuz sayı 11’e bölümden kalan olur.
Örneğin aşağıdaki sayıyı inceleyelim ve 11 ile bölümünden kalanı bulalım.
Birler basamağından (en sağdan başlayarak numaralandırdık. Tek numaralı olan rakamların toplamından çift numaralı rakamların toplamını çıkaralım.
(7+1+2+4) – (6+8+5) = -5
Bir sayının 11’ile bölümünden kalan negatif olamaz. Bu yüzden bu sayıya 11 eklemeliyiz.
-5 + 11 = 6
O halde 11 e bölümden kalan sayı 6 olacaktır.
11 ile bölünebilme kuralına örnekler
11 ile bölünebilme kurallarını iyice kavramak için elbette örnek farklı sorular çözmek gerekir. Önce kolay olanlardan başlamak en doğrusu.
ÖRNEK : Aşağıdaki sayıların 11 e bölümünden kalan kaçtır?
- 9317
- 695
- 38267
ÇÖZÜM:
Önce 9317 sayısının 11 ile bölümünden kalanı bulalım.
(7+3) – (1+9) = 0
Kalan sıfır olduğu için 9317 sayısının 11’e tam (kalansız) bölündüğünü söyleyebiliriz.
695 sayısını ele aldığımızda
(6+5) – 9 = 2
buluruz. Demek ki 695’in 11 ile bölümünden kalan sayı 2 dir.
Son olarak 38267 sayısının 11’e bölümünden kalanını hesaplayalım.
(7+2+3) – (6+8) = -2
Sonuç negatif olduğunda buna 11 eklemeliyiz. O halde 38267 sayısı 11 ile bölündüğünde kalan 9 olacaktır.
11 ile kalansız bölünebilme kurallarına örnekle
Şimdi de 11 ile kalansız bölünebilme ile ilgili örnek sorular çözmeye çalışalım. Yine aynı taktiği uygulayacağız. İlk gruptaki sayıların toplamından ikinci gruptaki sayıların toplamını çıkardığımızda sonuç -22, -11, 0, 11, 22, 33 gibi 11’in katı bir sayı çıkıyorsa o sayı 11 ile kalansız bölünebiliyor demektir.
Örnek soru:
Beş basamaklı 4×571 sayısı 11’e tam bölünebildiğine göre, x kaçtır?
Çözüm:
Bu beş basamaklı 4×571 sayısının 11’e tam bölünebilmesi için
(1+5+4) – (7+x) = 11k
olmalıdır. Yani 3-x ifadesinin değeri 0, 11, 22.. sayılarından biri olmalı. Dikkat edin, x bir rakam olduğu için sadece x=3 değeri aradığımızı sonucu verir. 11 ile bölünebilme kuralı için bir örnek daha yapalım.
Örnek soru:
Yedi basamaklı 918×726 sayısı 11’e tam bölünebilen bir doğal sayıdır. Buna göre, x kaç olabilir?
Çözüm:
918×726 sayısı 11’e tam bölünebildiğine göre, kuralı sağlamalıdır. Yani
(9+8+7+6) – ( 1+x+2) = 11k
olmalıdır. Gerekli işlemleri yaparsak
27 – x = 11k elde edilir. Burada x bir rakam olduğuna göre, x=5 değerini aldığında 27-x farkı da 11’in katı olmaktadır.
Örnek soru:
5ab8 dört basamaklı doğal sayı olmak üzere, 5ab8 kişi her bir grupta eşit sayıda kişi olacak şekilde 11 gruba ayrılmıştır. Buna göre a+b toplamının en büyük değeri kaçtır?
Çözüm:
Problem tarzında bir 11 ile bölünebilme sorusu. 5ab8 kişi 11 gruba ayrıldığında hiç açıkta kalan olmadığına göre demek ki bu sayı 11’e tam yani kalansız bölünebiliyor. 11 e bölünme kuralını uygulayalım.
(8+a) – (5+b) = 11k
olmalıdır. Gerekli işlemleri yaparsak
a – b = 11k- 3
elde ederiz. k=0 için
a – b = -3
olur. Bu durumda a=6 ve b=9 için a+b toplamı en çok olur ve 15 değerini alır.
k= 1 için aynı işlemleri yaparsak
a – b = 8
elde ederiz. Bu durumda a=9 ve b=1 için a+b toplamı en büyük değerini alır. Yani toplamları en çok 10 olur.
O halde a+b toplamı en çok 15 olacaktır.
11 ile tam bölünebilme kuralı
Tam bölünmenin anlamı şudur: Bölmenin sonucunda kalan sıfır olmalıdır. Fakat biz bölme işlemi yapmadan kalanı bulmaya çalıştığımız için daha anlattığımızı 11 ile bölünebilme kuralını uygulayacağız.
Yani birler basamağından başlayarak iki gruba ayırdığımız toplamların farkını hesaplıyoruz. Bu farkın değeri 11’in katı olduğunda 11 ile tam bölünebilme sağlanmış demektir. Yani bu fark -22, -33, -11, 0, 11, 22, 333, 44.. gibi 11’in tamsayı katı sayılardan biri olabilir.
Örneğin 708191 sayısının 11’e tam bölünüp bölünmediğini inceleyelim. Kuralı uygularsak
(1+1+0) – (9+8+7) = – 22
elde ederiz. Sonuç yani -22 sayısı 11’in tam sayı katı olduğu için 708191 sayısı 11 ile tam bölünebilmektedir.
11 ile kalanlı bölme varsa
11 ile bölünebilme kuralını uygularken bulduğumuz sonuç 11’in tamsayı katı değilse bu durumda kalanlı bölme var demektir. Kalan olsa da olmasa da çözüme giderken aynı kuralı uygulamaya devam edeceğiz.
Örnek:
Beş basamaklı 1234x sayısının 11 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, x kaç olabilir?
Çözüm:
Daha önce yaptığımız gibi çözüme gidiyoruz.
(x+3+1) – (2+4) = 11k + 4
x = 11k + 6
olur. O halde k=0 için x=6 olarak bulunur.
Örnek:
Yedi basamaklı 1a3b852 sayısının 11 ile bölümünden kalan 10 olduğuna göre a+b toplamının alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm:
1a3b852 sayısına 11 ile bölünme kuralını uygulayalım.
(1+3+8+2) – (a+b+5) = 11k+10
9 -(a+b) =11k+10
a+b = -11k -1
k=-1 değeri için a+b=10 bulunur. a ve b birer rakam olduğu için toplamları zaten en çok 18 olabiliyordu. Bu durumda a+b toplamı 10 olur.
