by Bir sayının 3 ile bölümünden kalanını bulmak için 3 ile bölünebilme kuralını kullanıyoruz. Burada bir sayının 3’e tam bölünüp bölünmediğini bulmayı, tam bölünemiyorsa kalanı nasıl hesaplayacağınız öğreneceksiniz. Hadi başlayalım.
3 ile bölünebilme kuralı nedir?
Bir doğal sayının 3’e bölümünden kalanını hesaplamak için uyguladığımız adımlar bütününü içeren prosedüre 3 ile bölünebilme kuralı diyoruz.
Bu kuralın uygulanması 2, 5, 8 ve 10 gibi sayıların kuralından farklıdır. Diğerlerinden sayının son basamaklarına bakıyorduk. Oysa 3 ile bölünme kuralında sayının rakamları toplamı bilgisini kullanıyoruz.
3 ile bölünebilme kuralı nasıl yapılır?
Bir sayının 3’e bölümünden kalanı 2 adımda bulabiliriz.
Adım 1: Sayının rakamlarını topla.
Adım 2: Toplamın değerini 3’e böl ve kalanı bul.
Örneğin “734 sayısının 3’e bölümünden kalanı kaçtır?” sorusunu yanıtlayalım.
Önce sayımızın rakamları toplamını bulmalıyız.
Adım 1: 7 + 3 + 4 = 14
Sonra 14’ün 3’e bölümünden kalanı hesaplamalıyız.
Adım 2: 14’ün 3’e bölünce kalan 2 olur.
3 ile bölünme kuralını hafifleten yöntem
3 ile bölünebilme kuralını, normalde yukarıdaki 2 adımda gösterildiği gibi kullanıyoruz. Fakat sayının rakamlarını toplarken kullanabileceğimiz, gerçekten de büyük kolaylık sağlayan ve işlemi çok hafifleten yöntem kullanacağız.
3, 6 ve 9 gibi rakamlar zaten 3’ü katı olduğu için haliyle bunların 3’e bölümünden kalan sıfır olacaktır. Yani sayımızın içinde bu rakamlardan hangileri varsa direkt kaldırın, yok sayın.
Bir de bazı rakamların toplamı 3 ya da 3’ün katı olabiliyor. Bunları da kaldırın. Örneğin 2 ve 7 rakamlarının toplamı 9’dur. 9 sayısı da 3’ün tam katı olduğu için kalan zaten sıfır olacağından 2 ve 7 rakamlarını da kaldırırız, yok sayarız.
Rakamları toplamı 3’ün tam katı olan ikililer aşağıdadır.
(1,2) , (1,5), (1,8), (2,4), (2,7), (4,5), (4,8), (5,7), (7,8)
Sayımızın içinde yukarıdaki ikilileri görürseniz bunları toplama işlemine almanıza gerek yok, görmezden gelin. Gereksiz yere toplama işlemini şişirmeyin. Çünkü sayımızın basamak değeri çok büyük olursa rakamları toplarken hata yapma olasılığımız artıyor. Riske gerek yok.
Bazı durumlarda toplamı 3’ün tam katı olan üçlü rakamlar da olabiliyor. Aşağıda bazı örnekleri var.
(1,1,4) , (1,1,7), (1,4,4), (2,5,5), (2,5,8), (2,2,8), (2,3,7), (1,4,7)
Sayının rakamlarını toplarken elinizden geldiğince yukarıdaki ikili ya da üçlü rakamları görürseniz silin gidin, toplamaya dahil etmeyin. Emin olun yaptıkça alışırsınız.
Diğer sayılarda bölünebilme kurallarını gördünüz mü?
Bir sayının 3 ile bölümünden kalanlar kümesi
Bir doğal sayının 3 ile bölümünden kalanlar kümesi {0,1,2} dir. Yani siz bir sayıyı 3’e böldüğünüzde kalan sayı yalnızca 0, 1 ya da 2 rakamlarından biri olabilir. Eğer kalan 0 (sıfır) olursa demek ki sayımız 3 ile kalansız yani tam bölünüyor demektir.
Soruda “…. sayısı 3 ile tam bölünmektedir” gibi bir ifade görürseniz kalan sayının sıfır olduğunu söylemek istiyordur. Çözümü buna göre yapmalısınız.
3 ile bölünme soruları
Soru 1:
Aşağıdakilerden hangisi 3 ile kalansız bölünebilir?
i) 432568
ii) 7128354
iii) 81952632
Çözüm:
i) Önce 432568 sayısından başlayalım. Burada hafifleten yöntemi kullanarak çözüm yapacağız. 3 ve 6 rakamlarını silerek işleme başlayalım.
4+8=12 sayısı 3’ün katı olduğu için 4 ve 8 ikilisini de silelim. Geriye sadece 2 ve 5 kaldı.
2 + 5 = 7 olur.
7’nin 3’e bölümünden kalan 1 olur. Kalan sıfır olmadığı için 432568 sayısı 3 ile kalansız bölünemiyor deriz.
ii) Şimdi de 7128354 sayısının 3 ile bölümünü inceleyelim.
Önce 3’ü hemen silelim. Dikkat ederseniz 1+8, 2+7 ve 5+4 toplamları 3’ün katı olduğu için bu ikilileri de silelim. Geriye hiçbir şey kalmadı. O halde 7128354 sayısı 3 ile kalansız bölünebiliyor demektir.
iii) Son olarak 81952632 sayısının 3’e bölümünden kalanı bulalım.
3, 6 ve 9 rakamları hemen göze çarpıyor, bunları silin gidin. 1+8=9 toplamı da 3’ün katı olduğu için 1 ve 8’i de kaldırın. Geriye 5+2+2=9 kaldı. Bu toplam da 3’ün katı olduğu için bunları da silelim. Geriye hiçbir rakam kalmadı.
O halde 81952632 sayısı 3 ile kalansız bölünüyor diyebiliriz.
Soru 2:
Dokuz basamaklı 226528408 sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Kalanı bulmak için çözümü adım adım yapalım.
- 6 rakamı hemen göze çarpıyor, silelim.
- Daha sonra 2+2+5=9 olduğu için (2,2,5) üçlüsünü de silelim.
- 4+8=12 toplamı da 3’ün katı olduğu için (4,8) ikilisini de kaldıralım.
- Geriye sadece 8 rakamı kaldı.
- 8’in 3’e bölümünden kalan 2 olduğu için cevabımız 2 olur.
Soru 3:
Yedi basamaklı 7aa2a65 sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Sayımızda harf bulunması sizi sakın ürkütmesin. Biz her zamanki yöntemle çözmeye başlayalım.
- 6 rakamı 3’ün katı olduğu için 6’yı silelim.
- 7+2=9 toplamı da 3’ün katıdır. O halde 7 ve 2’yi de silelim.
- Üç tane a rakamının toplamı 3a olur. Bu da 3’ün katıdır, o halde bunları da silelim.
- Geriye sadece 5 rakamı kaldı. 5’in 3 ile bölümünden kalan 2 dir.
O halde 7aa2a65 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olur.
Soru 4:
Üç basamaklı 7a5 sayısı 3 ile kalansız bölünebildiğine göre a yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm:
7+5=12 zaten 3’ün katı olduğu için bunları silelim. Geriye a rakamı kaldı. 7a5’in 3’e bölümünden kalan sıfır olduğu a yerine 0,3,6 ve 9 rakamlarından biri yazılabilir. Bu durumda a’nın alacağı değerler toplamı 0+3+6+9=18 olur.
Soru 5:
21×67 sayısı 3’e tam bölünen beş basamaklı bir doğal sayıdır. Buna göre, x yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm:
3 ile bölünebilme kuralını sayımızı hafifleterek uygulayalım. 6 rakamı 3’e tam bölünüyor, direkt silelim. 2+7=9 olduğu için 2 ve 7 rakamlarını da silebiliriz. Geriye a ve 1 rakamları kaldı. a+1 toplamı sıfır ya da 3’ün katı olmalı ki 21×67 sayısı 3’e tam bölünebilsin.
O halde a yerine 2, 5 ve 8 rakamlarından biri yazılabilir. Dikkat ettiyseniz en küçük rakamı bulduktan sonra diğerlerini bulmak için 3’er ilerliyoruz. Bu durumda a’nın alacağı değerler toplamı 2+5+8=15 olur.
Soru 6:
1a51a beş basamaklı ve 3 ile tam bölünen bir doğal sayıdır. Buna göre, a yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm:
5+1=6 toplamı 3’ün katı olduğu için 1 ve 5’i kaldıralım. Geriye a+a+1 toplamı yani 2a+1 kaldı. O halde a yerine 1, 4 ve 7 rakamlarından biri gelirse 2a51a sayısı 3’e tam bölünebilir. a’nın alacağı değerler toplamı 1+4+7=12 olur.
3 ile bölünebilme kuralını uygularken sayıları dilediğiniz anda hafifleterek işleme devam edebilirsiniz.
Soru 7:
Dört basamaklı 4a6b sayısı 3 ile kalansız bölünebildiğine göre a+b toplamının alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm:
6’yı direkt silelim. Hatta 4’ü bile isterseniz hafifletip devam edebilirsiniz. Yani 4’ün 3’e bölümünden kalanla devam edebilirsiniz. Geriye 1+a+b toplamı kaldı. Bu toplamın ile kalansız bölünmesi için toplamın değeri 3,6,9,12,15,18,21… değerlerinden birini alabilir.
a ve b birer rakam olduğu için toplamları en fazla 18 olabilir. O halde a+b toplamının alabileceği değerler 2,5,8,11,14,17 alabilir.
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan varsa
Bir sayının 3 ile bölünmesinden elde edilen kalan 1 ya da 2 olduğunda kalanlı bölme var deriz. Şimdi kalanlı bölünebilme soru çözelim.
Soru 8:
Dört basamaklı 8×57 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre x yerine kaç farklı değer yazılabilir?
A)0 B) 1 C) 2 D)3 E)4
Çözüm:
8×57 sayısının rakamlarına baktığımızda 8+7 toplamının 3’e tam bölündüğü görebiliyoruz. O halde 7 ve 8’i görmezden gelerek devam edelim. Geriye x ve 5 kaldı. x+5 toplamının 3’e bölümünden 2 kalması için x yerine {0,3,6,9} rakamlarından biri gelebilir. x yerine 4 farklı değer gelebileceği için doğru cevap E seçeneği olur.
Soru 9:
Rakamları birbirinden farklı beş basamaklı 6m732 sayısı 3 ile bölündüğünde kalan 1 olmaktadır. Buna göre, m yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm:
6m732 sayısındaki 3 ve 6 rakamlarını silelim. 7 ve 2’nin toplamı 9 oluyor, yani 3’ün tam katı. O halde bunları da silelim. Geriye yalnızca m rakamı kalıyor. Sayının 3’e bölümünden kalanın 1 olduğu söylenmiş. Demek ki m yerine {1, 4, 7} ramaklarından biri gelebilir.
Fakat sorunun hemen başında “Rakamları birbirinden farklı” ifadesi olduğu için m yerine 7 rakamını kullanamayız. O halde me yerine yazılabilecek rakamların toplamı 1+4=11 olur.
Birden fazla sayının 3’e bölümünden kalanı bulmak
Şimdi de aşağıdaki durumlarda 3 ile bölünme kuralını nasıl uygulayacağımızı görelim.
- Birden fazla sayının toplamı ya da farkı
- Birden fazla sayının çarpımı
- Bir sayının pozitif tamsayı kuvveti
Uygulayacağımız taktik şu şekilde olacak:
i) Her bir sayının ayrı ayrı 3 ile bölümünden kalanı bul.
ii) Kalan sayılarla dört işleme devam et.
iii) Sonra bulduğun sayının 3 ile bölümünden kalanını bul
Aslında daha önce yaptıklarımızın birebir aynısını yapıyoruz. Tek farkı sanki bir kaç soruyu aynı soru içinde çözüyormuşuz gibi kuralı uyguluyoruz. Hemen bir kaç örnekle pekiştirelim.
Soru 10:
(24752).(168314) çarpımının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Burada tabii ki sayıları çarpmayacağız, bu çok uzun sürer. Zaten buna gerek yok. Çünkü bizim taktiğe göre her bir sayının 3 ile ayrı ayrı bölümünden kalanı bulmamız yeterli olacak. Bulduğunuz kalanları çarparak elde edeceğimiz sayının 3 ile bölümünden kalanını bulup sonuca gideceğiz.
24752 in 3 ile bölümünden kalanı bulalım. 2+4 ve 7+2 zaten 3’e tam bölünüyor, bu yüzden bu rakamları silelim. Geriye sadece 2 rakamı kaldı. O halde kalan sayı 2 olur.
168314 sayısı 3’e bölündüğünde kalan ne olur bulalım. 1+8 toplamı, 6 ve 3 rakamları zaten 3’e tam bölündüğü için bunları silelim Geriye 1+4=5 kaldı. 5 rakamı 3’e bölündüğünde kalan 2 olur.
Elde ettiğimiz kalanları çarparsak 2.2=4 elde ederiz. 4’ün 3 ile bölümünden kalan 1 olacaktır.
Soru 11:
(245)3 . (3017)2 çarpımının 3’e ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Burada tek yapmamız gereken önce 245 ve 3017 sayılarının 3’e bölümünden kalanı bulup işlemi hafifletmek. Daha sonra bulduğumuz kalanlarla üslü işlemlerimizi yapıp sonuca gideriz.
- 245 sayısı 3’e bölündüğünde kalan sayı 2 olur.
- 3017 sayısı 3’e bölündüğünde kalan sayı 2 olur.
Kalan sayılarla işleme devam edersek 23 . 22 = 8.4 = 32 elde ederiz. 32’nin 3’e bölümden kalanını bulmamız yeterli olacak. 32’nin 3’e bölümünden 2 kalır.
İçinde 3 çarpanı bulunan sayılarda bölünebilme kuralları
Bir sayının ya da ifadenin çarpanlarından biri 3 ise, o sayı 3’e tam bölünür yani 3 ile bölümünden sıfır olur. Bu bilgiyi soru çözerken kullanacağız.
Soru 12:
A = 7.8.10.11.13.14.15.16 olmak üzere A sayısının 3’e bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm:
A sayısının çarpanlarından biri olan 15’in çarpanlarından biri 3 olduğu için A sayısı 3’e tam bölünür. Yani A’nın 3’e bölümden kalanı sıfır olur.
Soru 13:
0! + 1! + 2! + 3! + ….+ 10! toplamının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
0! = 1
1! = 1
2! = 1.2 = 2
3! = 1 2.3
4! = 1.2.3.4
Bu şekilde yazmaya devam ettiğimizde (3!)’den itibaren toplamda yer alan tüm terimlerin çarpanlarından biri 3’tür. O halde (3!)’den itibaren olan sayıların hepsi 3’e tam bölündüğü için işleme dahil etmeye gerek yoktur. Geriye kalanları toplamı
0! + 1! + 2! = 1 + 1 + 2 = 4
olur. 4’ün 3 ile bölümünden elde edilen kalan cevabımız olur. Sonuç 1 olacaktır.
Video Çözümlü Sorular
3’e bölünme ile ilgili Youtube’den çözümlü 5 soru ekledik.
Soru 14:
Soru 15:
Soru 16:
Soru 17:
Soru 18:
Çözümler:
