by Burada 5 ile bölünebilme kuralını örnek sorularla öğreneceksiniz. 5 ile tam bölünebilme kuralı nasıl uygulanır? 5 ile bölünebilme soruları nasıl çözülür? Konu anlatımı ve soru çözümlerine hemen başlayalım.
5 ile bölünebilme kuralı nedir?
Bir doğal sayının 5 ile bölümünden kalanı bulmak için kullandığımız prosedüre 5 ile bölüne bilme kuralı diyeceğiz. Bir sayının 5 ile bölümünden kalanı bulmak için o sayının yalnızca son basamağını yani birler basamağını kullanmamız yeterlidir.
5 ile bölünebilme kuralını nasıl uygularız?
Bir doğal sayının 5 ile bölümünden kalanı bulurken birler basamağındaki rakamı kullanıyoruz. Birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalanı bulduğumuzda sonucu da bulmuş oluyoruz.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalanlar
Bir sayının 5’e bölümünden kalanların kümesi {0,1,2,3,4} dir. Yani bu rakamlar dışında bir kalan olamaz. Eğer kalan 0 (sıfır) ise o halde o sayı 5 ile tam bölünüyor demektir.
Demek ki bir soruda “… sayısı 5 ile tam bölünmektedir.” gibi bir ifade görürseniz o sayının 5 ile bölümünden kalanın 0 (sıfır) olduğunu anlamalısınız.
5 ile tam bölünebilme kuralı nasıl olur?
Tek yapmanız gereken sayının son basamağındaki rakamı (yani birler basamağı) kullanmak. 5 ile tam bölünebilme kuralı için pratik olarak şunu söyleyebiliriz. Eğer sayının
- son basamağındaki rakam 0 ya da 5 ise o sayı 5 ile tam bölünebiliyor
- son basamağındaki rakam 0 ya da 5 değilse 5 ile tam bölünemiyor
demektir.
Demek ki bir doğal sayının 5’e tam bölünüp bölünmediğini öğrenmek için bölme işlemini uzun uzadıya yapmanıza gerek yokmuş.
Sayının 5 ile bölümünden kalanı biliyorsak
Size soruda bir sayının 5 ile bölümünden kalan bilgisi verilmişse, o sayının son basamağındaki rakamın kaç olabileceğini tahmin edebilirsiniz. En azından iki seçeneğiniz olduğunu bilirsiniz. Kalanın kaç olduğuna göre birler basamağındaki rakam iki farklı değerden biri olabilir.
Örneğin; 147x sayısı 5 ile bölündüğünde kalan 2 olsun. Bu durumda x yerine gelebilecek rakamlar 2 ve 7 ‘den biri olabilir.
5 ile bölümünden kalanı biliyorsak son rakam ne olur?
Aşağıdaki tabloda bir sayının 5 ile bölümünden kalan sayılar ve bu sayılara göre birler basamağına hangi rakamların gelebileceği yer alıyor.
| Kalan sayı | Birler basamağındaki rakam |
| 0 | 0 ya da 5 |
| 1 | 1 ya da 6 |
| 2 | 2 ya da 7 |
| 3 | 3 ya da 8 |
| 4 | 4 ya da 9 |
Çözümlü 5 ile bölünebilme soruları
Bu kadar özet bilgiden sonra kuralı pekiştirmek için biraz da örnek sorular çözelim. Aslında 5 ile bölünebilme kuralının uygulaması oldukça kolay. Fakat biz yine de en basitten başlayarak biraz daha ileri soru türlerini çözmeye çalışacağız.
Konuyla ilgili çözeceğimiz sorular pek çok kaynakta bulabileceğiniz klasik sorular olacak. Yeni nesil tarzda soruları çözerken zaten burada kullandığımız yöntemi kullanıyorsunuz.
Soru 1:
Aşağıdaki sayıların 5 ile bölümünden kalanı bulalım.
- 14517
- 2491
- 25365473
- 24765
- 57968
- 114872
Çözüm:
Son rakamı 0 ya da 5 olanların 5 ile bölümünden kalan sıfır olur. O halde 24765 sayısı için kalan 0 (sıfır) olur.
Son rakamı (birler basamamağı) 5’ten küçük olanların 5’e bölümünden kalan her zaman birler basamağındaki rakam olur. O halde 2491, 25365473 ve 114872 sayılarının 5 ile bölümünden kalan sayılar sırasıyla 1, 3 ve 2 olur.
Son rakamı 5’ten büyük olanların birler basamağındaki rakam 5’e bölündüğünde kalan neyse cevabımız o sayı olur. Bu durumda 14517’nin 5 ile bölümünden kalan 2 ve 67968’in ise 3 olur.
Soru 2:
Üç basamaklı 45a ve dört basamaklı 107b sayıları 5 ile bölündüğünde sırasıyla 2 ve 3 kalanını vermektedir.
Buna göre, b – a farkı en çok kaç olur?
Çözüm:
Öncelikle b-a farkının en fazla olması için b rakamını en büyük, a rakamını en küçük olacak şekilde seçmeliyiz. 45a sayısı 5 ile bölündüğünde kalan 2 olduğuna göre, a yerine 2 ya da 7 değerlerinden biri gelebilir. 107b sayısında kalan 3 olduğundan b yerine 3 ya da 8 rakamlarından biri gelebilir.
b-a farkını en çok yapmak için b=8 ve a=2 seçmeliyiz. O halde b-a farkının en büyük değeri 8-2=6 olur.
Soru 3:
(94158).(2379).(6027) çarpımının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Tıpkı diğer bölünebilme kurallarında yaptığımız gibi burada her bir sayının 5 ile bölümünden kalanını ayrı ayrı hesaplayıp işleme kalan sayılarla devam edebiliriz.
94158, 2379 ve 6027 sayıları 5 ile bölündüğünde kalanlar sırasıyla 3, 4 ve 2 olur. O halde bu kalanlar ile işleme devam edebiliriz.
3 . 4 . 2 = 24
olur. 24’ün 5 ile bölümünden kalan 4’tür. O halde sorunun cevabı 4 olur.
Soru 4:
Beş basamaklı ve rakamları farklı 8241x sayısı 5 ile bölündüğünde 3 kalanını vermektedir.
Buna göre, x yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm:
Kural gereği birler basamağındaki rakama bakmalıyız. Kalan 3 olduğuna göre, son rakam yani x yerine 3 ya da 8 gelebilir. Eğer soruda verilen bilgiyi dikkatli okumadığınızda sonucu hatalı bulursunuz. x yerine 3 ve 8 değerleri gelebilir derseniz hata yapmış olursunuz. Çünkü soru kökünde “rakamları farklı” dediği için x’in değeri 8 olamaz.
O halde x yerine gelebilecek rakamların toplamı 3 olacaktır.
Soru 5:
Dört basamaklı 109m sayısının 5 ile bölümünden 2 kaldığına göre, m yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm:
109m sayısı 5 ile bölündüğünde kalan 2 olduğuna göre, demek ki son rakam 2 ya da 7 olmalıdır. Bu durumda m yerine yazılabilecek rakamların toplamı da 2+7=9 olur.
Soru 6:
A doğal sayısının 5 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre
i) 3.A2
ii) 4.A3
sayılarının 5 ile bölümünden kalan kaç olur?
Çözüm:
Kalanını bildiğimizi ama kendisini bilmediğimiz sayılarla ilgili bu türden sorularda çok işe yarayan bir pratik var. Madem ki A doğal sayısı 5ile bölündüğünde kalan 4 oluyor, o halde biz de a yerine 4, 9, 14, 19, … sayılarından her hangi birini kullanabiliriz. Elbette kolaylık açısından A=4 kullanacağız.
i) A=4 ise 3.42 = 3.16 = 48 olur. 48’in 5 ile bölümünden kalan da 3 olacaktır. Aslında burada 3.16 çarpma işlemini yapmadan da çözüme gidebilirdik. Daha önce de söylediğimiz gibi sayıların 5 ile bölümünden ayrı ayrı kalanlarını bulup işleme devam edebiliriz. 16’nın kalanı 1 olacağından bu sayı yerine 1 yazarak işleme devam edebilirsiniz.
3 . 16 = 3 . 1 = 3 olur.
ii) A=4 için
4.43 = 4 . 64 = 4 . 4 = 16
olur. 16’nın 5 ile bölümünden de 1 kalır.
Soru 7:
24587 + 130945x toplamının 5 ile tam bölünebilmesi için x yerine kaç gelmelidir?
Çözüm:
Çözümü çok kolay, çünkü sadece son rakamları kullanmamız yeterli olacak. 7+x toplamının 5’e bölümünden kalanın sıfır olması için x yerine 3 ya da 8 rakamlarından biri gelmelidir.
Soru 8:
(406a).(5374) çarpımı 5 ile bölündüğünde kalan 2 olduğuna göre, a yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm:
Önceki soru olduğu gibi çözüm için yine sadece son rakamları kullanmamız yeterli olacak. Kalanın 2 olması için 4 ile a’yı çarptığımızda elde ettiğimiz sayının 2 ya da 7 ile bitmesi gerekiyor. 4 ile çarpılan bir sayının sonucu 7 ile bitemez. Demek ki 4 ile a’nın çarpımının sonucu 2 ile bitiyormuş. Bu durumda a=3 ya da a=8 olabilir.
O halde, a yerine yazılabilecek rakamların toplamı 3+8=11 olur.
Soru 9:
A = 0! + 1! + 2! + …. + 20!
olduğuna göre, A sayısının 5’e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Verilen toplamda 5! sayısından itibaren olan tüm terimlerin içinde 5 çarpanı vardır. O halde 5! dahil olmak üzere bundan sonraki tüm terimler 5 ile kalansız bölüneceğinden bunları görmezden gelebiliriz. Son durumda
0!+1!+2!+3!+4!
toplamı kalır. Bu toplamın sonucu
1+1+2+3+24 = 31
olacaktır. Bu durumda 31 sayısı 5 ile bölünürse kalan 1 olur. Demek ki A sayısı 5 ile bölündüğünde kalan 1 oluyor.
Fark ettiyseniz eğer, bir sayının çarpanlarından bir 5 ise o sayı otomatikman 5 ile tam bölünüyor demektir. Bu yüzden çarpanlarından biri 5 olan sayılar yerine sıfır yazarak işleme devam etmeliyiz.
Soru 10:
11.12.13. …… .18.19 çarpımı 5 ile bölündüğünde kalan sayı kaç olur?
Çözüm:
11’den 19’a kadar olan sayıların her birinin 5′ bölümünden kalanı tek tek bulmaya gerek yok. Çünkü çarpılan sayılardan biri 15’tir. Ve 15 sayısı da 5’in tam katı olduğundan 5’e bölümünden kalan sıfır olacaktır. Sadece bu bile tüm tüm çarpımın sonucunu etkiler. O halde kalan sıfır olur diyebiliriz.
Diğer sayılarda bölünebilme kurallarını gördünüz mü?
Farklı Kaynaklardan Çözümlü Sorular
Soru 11:
Çözüm:
Soru 12:
Çözüm:
Soru 13:
Çözüm:
