by 2 ile bölünebilme kuralı, bölünebilme kuralları arasında birler basamağını kullandığımız üç kuraldan biridir. Diğer ikisi 5 ve 10 ile bölünebilme kuralıydı. 2 e bölünebilme kuralı nedir ve nasıl uygulanır? Burada bunu örnek sorularla anlatacağız. Hadi başlayalım.
- 2 ile bölünebilme kuralı nedir?
- 2 ile bölünebilme kuralı nasıl kullanılır?
- Bir sayının 2 ile bölümünden kalanlar kümesi
- 2 ile tam bölünebilme kuralı
- Birler basamağı ve kalan tablosu
- Çözümlü 2 ile bölünebilme soruları
- Niçin bölünebilme kurallarını kullanıyoruz?
2 ile bölünebilme kuralı nedir?
Kaç basamaklı olursa olsun herhangi doğal sayının 2 ile bölümünden kalanı bulmak için kullandığımız işlemlerin tamamına 2 ile bölünebilme kuralı adını vereceğiz. Bir sayının 2 ile bölümünden kalanı hesaplamak için o sayının sadece birler basamağına bakmak yeterli olacaktır.
2 ile bölünebilme kuralı nasıl kullanılır?
Bir sayının 2’ye bölümünden kalanı hesaplamak için sayının birler basamağındaki rakamı kullanıyoruz demiştik. Sayının birler basamağındaki rakamı 2 ile bölüp kalanı hesapladığımızda, cevabı bulmuş oluyoruz. Son basamak hariç diğer rakamları kalanı bulurken hesaba katmıyoruz.
Bir sayının 2 ile bölümünden kalanlar kümesi
Bir doğal sayının 2 ile bölümünden kalanların kümesi {0, 1} dir. Bu şu anlama geliyor: Bir doğal sayıyı 2’ye bölerseniz kalan sayı 0 ve 1 dışında olamaz.
Eğer kalan sayı bize 0 (sıfır) olarak verilmişse demek ki 2 ile kalansız yani tam bölünüyordur. Sorulardaki “tam bölünüyor” ifadesi kalanın sıfır olduğu anlamını taşıyor. İşlemleri bu yönde yapmalısınız.
Diğer sayılar için bölünebilme kuralları
2 ile tam bölünebilme kuralı
Bölünebilme kuralları arasında son basamaktaki rakamın kullanıldığı kurallardan biri 2 ile bölünebilmedir. Bu kuralda bakmanız gereken tek yer sayının son basamağıdır, yani birler basamağındaki rakamdır.
2 ile tam bölünebilme kuralında sayının birler basamağındaki rakam
- çift sayı ise o sayı 2 ile tam bölünebilir
- tek sayı ise 2 ile tam bölünemez
diyebiliriz. Yani, sayının son basamağındaki rakam {0,2,4,6,8} rakamlarında biriyse kalan 0 (sıfır); {1,3,5,7,9} rakamlarından biriyse kalan 1 olur. Kalan Sayı – Birler Basamağı tablosunda bunları bulabilirsiniz.
Sonuç olarak bir doğal sayının 2’ye tam bölünüp bölünmediğini öğrenmek için bölme işlemini yapmaya gerek yoktur. Son basamaktaki rakama bakmanız yeterli olacaktır.
Birler basamağı ve kalan tablosu
| KALAN SAYI | BİRLER BASAMAĞI |
| 0 | 0, 2, 4, 6, 8 |
| 1 | 1, 3,5, 7, 9 |
Çözümlü 2 ile bölünebilme soruları
En iyi öğrenme uygulama yapmaktan, farklı sorular çözmekten geçer. 2 e bölünebilme kuralını iyice kavramak için soru çözmeye hemen başlayalım.
Soru 1:
Aşağıdaki sayılardan hangileri 2 ile kalansız bölünebilir?
- 120147
- 528
- 9136
- abcde2
- 1xy3
- 2104681
Çözüm:
Kural çok basit ve net: Birler basamağındaki rakam tek ise kalansız bölünemez yani kalan 1 olur. Çift ise kalansız bölünür, yani kalan 0 (sıfır) olur.
Bu durumda 120147, 1xy3 ve 2102681 sayıları 2 ile kalansız bölünemez. 528, 9136 ve abcde2 sayıları 2 ile kalansız yani tam bölünebilir.
Soru 2:
Üç basamaklı abc, dört basamaklı defg ve beş basamaklı klmnp sayılarının 2 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 1, 0 ve 1’dir. Bu sayılarla ilgili ne söylenebilir?
Çözüm:
abc ve klmnp sayılarının 2 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre birler basamağı yani c ve p’nin alabileceği değerler 1, 3, 5, 7 ve 9’den biri olabilir. defg sayısında kalan 0 olduğu için son basamağı yani g’nin alacağı değer 0, 2, 4, 6 ve 8 rakamlarından biri olabilir.
Soru 3:
(12123).(52749) + (107).(258)
işleminin sonucu 2’ye bölündüğünde kalan kaç olur?
Çözüm:
Aslında biz işlemin sonucunun tek mi çift mi olduğunu bulursak kalanı da bulmamız kolaylaşır. İşlemin sonucu tek sayı çıkarsa kalan 1, çift çıkarsa kalan 0 olur.
Tek x Tek + Tek x Çift = Tek + Çift = Tek
O halde (12123).(52749) + (107).(258) işleminin sonucu 2 ile bölündüğünde kalan 1 olur.
Soru 4:
Dört basamaklı ve rakamları birbirinden farklı 956x sayısı 2’ye bölündüğünde kalan 1 olmaktadır. Buna göre x’in alabileceği değerler toplamı kaç olur?
Çözüm:
956x sayısı 2’ye bölündüğünde kalan 1 olduğuna göre x yerine 1, 3, 5, 7 ve 9 değerlerinden biri gelebilir. Fakat soruda bize rakamları birbirinden farklı dediği için 5 ve 9 değerlerini kullanamayız. O halde x’in alacağı değerler toplamı 1+3+7=11 olur.a5b
Soru 5:
Rakamları birbirinden farklı, dört basamaklı 9a8b sayısı 2 ile tam bölünmektedir.
Buna göre, a.b çarpımının en büyük değeri kaçtır?
Çözüm:
Rakamları farklı dediği için a ve b yerine 8 ya da 9 kullanamayız. Sayımız 2 ile tam bölündüğüne göre çift bir sayıdır. Demek ki b yerine 2 ile bölünebilen sayılar, yani 0, 2, 4 ya da 6 gelebilir. a.b çarpımının en büyük olması için a=7 ve b=6 seçmeliyiz. Bu durumda çarpımın sonucu 7.6=42 olur.
Soru 6:
x pozitif bir tamsayıdır. x’in 2 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre,
x3 + 3x2 +3x + 1
ifadesinin 2 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Böyle sorularda x yerine 2 ile bölündüğünde 1 kalanını veren herhangi bir sayı kullanabiliriz. Biz en küçük olan 1 sayısını kullanalım. x yerine ifadede 1 yazarsak
1 + 3 + 3 + 1 = 8
bulunur. Bu durumda 8’in 2’ye bölümünden kalan 0 (sıfır) olur.
Soru 7:
A = 15.17.19.21.23.25.26.27.29
olduğuna göre, A’nın 2 ile bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm:
Çözüm çok kısa ve kolay. Çünkü çarpım ifadesinin içindeki 26 sayısı çift bir sayı olduğu için sonuç çift olacaktır. Yani dolayısıyla A çift bir sayıdır. Bu durumda A sayısı 2 ile kalansız bölünecektir.
Soru 8:
0! + 1! + 2! + ……. + 25!
toplamının 2’ye bölümünden kalanı hesaplayalım.
Çözüm:
0! = 1
1! = 1
2! = 1.2
3! = 1.2.3
Dikkat ederseniz 1! den sonraki tüm sayılar çift olduğu için her birinin 2 ile bölümünden kalan sıfır olacaktır. Bu durumda yalnızca 0!+1!=2 toplamı kalıyor. Bu toplamın sonucu çift olduğu için kalan yine 0 (sıfır) olur.
Video çözümlü sorular
Soru 9:
Çözüm:
Soru 10:
Çözüm:
Niçin bölünebilme kurallarını kullanıyoruz?
Bir sayının başka bir sayıya bölünüp bölünemeyeceğini belirlemek için bölünebilirlik kriterini, ya da başka bir deyişle bölünebilme kurallarını kullanırız. Her durumda, o sayının bölünebilip bölünemediğini doğrulamak için farklı bir kriter uygularız.
Bölünebilme kuralları, çok sayıda bölme işlemini çözmeyi kolaylaştırır.
Bölünebilme kuralları, bir sayının başka bir sayıya bölünebilir olup olmadığını kontrol etmek için kullanılan yöntemlerdir. Farklı sayılar için farklı kriterler kullanıyoruz.
Örneğin 2 ile bölünebilme kuralı için sayının çift olması, 5’e bölünebilmesi için sayının birler basamağının 0 ya da 5 olması, 10 a bölünme için ise son basamağının 0 (sıfır) olması yeterlidir. 2 ile 10 arasındaki her bir sayı için farklı bölünebilme kuralı vardır.
2’ye bölünebilme kriteri
Bu bir tür 2’ye bölünebilme testi gibi bir şeydir. 2 ile bölünebilen sayıları belirlemek için kullanabiliriz. 2 ile bölünebilen bir sayıyı belirlemek aslında oldukça kolaydır.
2 sayısı, asal sayıların ilkidir ve çift olan tek asal sayıdır. Sayılar konusundan hep kümeler çalışmasının başlangıcında, öğretmen bize bir çift sayının her zaman başka bir sayının iki katı olarak yazılabileceğini öğretir. 2 ile bölünebilen sayılara bakalım:
18 = 2 × 9
22 = 2 × 111
32 = 2 × 16
68 = 2 × 34
O halde 2 ile bölünebilen sayılar için “çift olması yeterlidir” diyebiliriz.
Peki çift sayıyı nasıl tanımlayacağız? Bu soruya cevap verirsek 2 e bölünebilen bir sayıyı belirlemenin şartlarını da belirlemiş oluyoruz. Bu zaten hepimizin bildiği bir cevap, sayı kümelerini öğrenirken ilk gördüğümüz kavramlardan.
Çift sayı, son basamağı çift bir rakam olan sayıdır. Yani 0, 2, 4, 6 ve 8 ile biten sayılardır. Ya da başka deyişle birler basamağı {0,2,4,6,8} kümesinin elemanlarından olan sayıdır.
Dolayısıyla 2 ile bölünebilme kuralı, son basamağın çift olup olmadığına bakıldığında ortaya anlaşılabiliyor. Ancak 2 sayısı tüm sayıları bölmez. Bu nedenle 2 ile bölünebilme kuralının geri kalanını anlamak önemlidir.
Bazı sayılar 2 ile bölünebilirken, bazıları bölünmez.
248 : 8 ile bittiği için 2’ye bölünebilir;
13574 : 4 ile bittiği için 2’ye bölünebilir;
90483 : 3 ile bittiği için 2’ye bölünmez;
72150 : 0 ile bittiği için 2’ye bölünebilir;
4263187 : sonu 7 ile bittiği için 2’ye bölünmez.
Çözümlü Örnekler
Örnek 1: 346’in 2’ye bölünebilir olup olmadığını kontrol edin.
Çözüm: 346’nın son basamağı olan 6 sayısı 2’ye tam bölünebildiği için 346 da 2’ye tam bölünür. 6/2=3 olur. Dolayısıyla 346 sayısı, 2’nin bölünebilirliğini sağlar.
Örnek 2: 135790 sayısı 2 ile bölünebilir mi?
Çözüm: Evet bölünebilir. Çünkü, 135790 sayısının birler basamağı 0 çift bir rakam olduğu için 2’ye tam bölünür.
Örnek 3: 1907 sayısının 2 e tam bölünüp bölünmediğini kontrol edelim.
Çözüm: 1907 sayısı 2’ye tam bölünmez. Çünkü birler basamağındaki rakam 7 tek bir sayıdır ve 2 ile bölümünden kalan 1’dir.
Örnek 4: Aşağıdaki tam sayılardan hangisi 2 ile bölünebilir ve neden?
18 / 27 / 34 / 50 / 79 / 46 / 63 / 98
Çözüm:
- 18 sayısı 2’ye tam bölünür çünkü son basamağı çifttir.
- 27 sayısı 2’ye bölünmez çünkü son rakamı tektir.
- 34 sayısı 2’ye tam bölünür çünkü birler basamağı çifttir.
- 50 sayısı 2’ye tam bölünür çünkü son basamağı çifttir.
- 79 sayısı 2’ye tam bölünemez çünkü son rakamı tektir.
- 46, birler basamağındaki rakam çift olduğu için 2’ye tam bölünür.
- 63 sayısı tek sayı ile bittiği için 2 ile tam bölünemez.
- 92 sayısı 2’ye tam bölünür çünkü son rakamı çifttir.
Sonuç Olarak;
0, 2, 4, 6 ve 8 sayıları ikiye bölünebilir. Sonuç olarak, 2’nin katı olan ve 0 ile biten tam sayılar 2’ye bölünebilir. Çift sayıların 2’nin katı olduğunu zaten biliyoruz. Yani, herhangi bir çift tam sayının ikiye bölünebileceğini söyleyebiliriz. Fakat 1, 3, 5, 7, 9 gibi sonu tek sayıyla biten sayılar 2’ye bölünemez.
