by Bir sayının 9 ile bölümünden kalanını bulan yönteme 9 ile bölünebilme kuralı diyoruz. Burada bir sayının 9’a tam bölünüp bölünmediğini bulmayı göstereceğiz. Tam bölünememe durumunda kalanı nasıl hesaplayacağınızı öğreneceksiniz. O halde ne duruyoruz, gelsin bakalım 9 ile bölünebilme soruları.
- 9 ile bölünebilme kuralı nedir?
- 9 ile bölünebilme kuralını nasıl uygularız?
- İşlemi hafifleterek 9 ile bölünme kuralını nasıl uygularız?
- Bir doğal sayının 9 ile bölümünden kalanlar kümesi
- 9 ile bölünebilme soruları
- 9 ile bölümünden kalan sorularında ne yapmalıyız?
- Birden fazla işlem bulunan soruda 9 ile bölümünden kalanı nasıl buluruz?
- Çarpanlarından biri 9 olan sayılarda bölünebilme kuralları
- Video çözümlü sorular
9 ile bölünebilme kuralı nedir?
Pozitif bir tam sayının 9’a bölümünden kalanı bulmak için uygulayacağımız prosedüre 9 ile bölünebilme kuralı diyeceğiz.
Bu kuralın uygulanması diğer sayıların (2, 4, 5, 8 ve 10 gibi) kuralından farklıdır. O sayılarda, sayının son bir ya da birkaç basamağına bakıyorduk. 9 a bölünebilme kuralında ise, tıpkı 3 ile bölünebilme kuralında olduğu gibi sayının rakamları toplamını kullanacağız.
Diğer sayılarda bölünebilme kurallarını gördünüz mü?
9 ile bölünebilme kuralını nasıl uygularız?
Bir sayının 9’e bölümünden kalanını iki adımda hesaplayabiliriz.
1. adım : Sayının rakamlarını toplarız.
2. adım : Bulduğumuz toplamı 9’a bölüp kalanı hesaplarız.
Örnek:
758 sayısının 9’a bölümünden kalanı kaçtır?
Çözüm:
Önce sayımızın rakamları toplamını bulmalıyız.
1.adım: 7 + 5 + 8 = 20
Daha sonra toplamın yani 20’nin 9’a bölümünden kalanı hesaplarız.
2.adım: 20’yi 9’a böldüğümüzde kalan sayı 2 olur. Cevabımız 2 olur.
Tam bu noktada size harika bir pratik verelim. Hani toplamı 20 bulduktan sonra 9’a bölüp kalanı bulmuştuk ya, işte tam orada dilerseniz 20’nin rakamları toplamını bulup 9’a bölümünden kalanı bulabilirsiniz.
Yani rakamlar toplamını 9’a bölmek yerine tekrar rakamları toplamını bulup sayımızı inanılmaz derecede hafifleterek işleme devam edebiliriz. 20’nin rakamları toplamı 2+0=2 olur, o halde 2’nin 9’a bölümünden kalan yine 2 olacaktır.
Pratik Bilgi: Bir doğal sayının kendisinden büyük bir sayıya bölümünden kalan sayı kendisi olur.
Örneğin 7’nin 9 ile bölümünden kalan 7 olur.
İşlemi hafifleterek 9 ile bölünme kuralını nasıl uygularız?
9 ile bölünebilme kuralını, genelde yukarıda gösterdiğimiz iki adımdaki gibi uyguluyoruz. Sayının tüm rakamlarını toplamak yerine, oldukça kolaylık sağlayan ve işlemimizi çok hafifleten bir yöntem kullanacağız. Bu yöntemde 9’a tam bölünen sayıları ya da sayı gruplarını görmezden geleceğiz.
Sayı içinde 9 rakamı varsa zaten 9’un katı olduğu için haliyle 9 ile bölümünden kalan da sıfır olacaktır. Yani sayın içindeki 9 rakamlarının üstünü çizin, görmezden gelin, yokmuş gibi davranın.
Sayımız içinde toplamı 9 ya da 9’un katı olan rakamlar da olabiliyor. Bu rakamların da üstünü çizin. Örneğin 2 ve 7 rakamlarının toplamı 9’dur. Bu 9 sayısı da 9’un tam katı olduğundan 9 ile bölümünden 0 (sıfır) kalır. O halde sayımızı içindeki 2 ve 7 rakamlarının üstünü çizeriz, bu rakamlar yokmuş gibi işleme devam ederiz.
Toplamı 9’un tam katı olan ikili rakamlar aşağıdadır.
(1,8) , (2,7), (3,6), (4,5)
Sayımızın içinde yukarıdaki ikililerden gördüklerinizi toplama işlemine almanıza gerek yoktur. Bu rakamları görmezden gelin, üstünü çizin. Böylece gereksiz yere toplama işlemini şişirmemiş olursunuz. Sayımızın basamak değeri çok büyük olduğunda, rakamları toplarken hata yapma olasılığımız da artıyor. Riske girmeye gerek yok.
Toplamı 9’un tam katı olan aşağıdaki gibi üçlü rakamlar da olabiliyor.
(1,1,7) , (1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4), (3,3,3)
Sayının rakamlarını toplarken elinizden geldiğince yukarıdaki ikili ya da üçlü rakamları görürseniz bunların üstünü çizin, toplama işlemine dahil etmeyin.
Bir doğal sayının 9 ile bölümünden kalanlar kümesi
Bir doğal sayının 9 ile bölümünden kalanlar kümesi {0,1,2,3,4,5,6,7,8} dir. Yani siz bir doğal sayıyı 9’a bölerseniz elde edeceğiniz kalan 0,1,2,3,4,5,6,7,8 rakamlarından biri olabilir. Kalan 0 (sıfır) olursa o halde sayımız 9 ile kalansız bölünüyor deriz.
Eğer soru içinde “….. doğal sayısı 9 ile tam bölünmektedir.” gibi bir ifade görürseniz, 9’a bölümünden kalanın sıfır olduğunu kastediyordur. İşlemi bu yönde yani kalanın sıfır olduğunu hesaba katarak yapmalısınız.
9 ile bölünebilme soruları
Soru 1:
Aşağıdaki sayılardan hangileri 9 ile tam bölünür?
i) 8179
ii) 217386
iii) 5347621
Çözüm:
i) 8179 sayısında sayıyı hafifleterek ilerleyelim. Önce 9 rakamının üstünü çizerek başlayalım
1+8=9 sayısı 9’un tam katı olduğu için 1 ve 8 rakamlarının da üstünü çizelim. Geriye sadece 7 rakamı kaldı. 7’nin 9’a bölümünden kalan 7 olacaktır. Sonuçta kalan 0 (sıfır) olmadığı için 8179 sayısı 3 ile tam bölünemez.
ii) 217386 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.
Dikkat ederseniz 1+8, 2+7 ve 6+3 toplamları 9’a eşittir. Yani 9’un katı oldukları için tüm bu ikili rakamların üstünü çizelim. Geriye hiç rakam kalmadığı için 217386 sayısı 3 ile tam bölünebiliyor deriz.
iii) Son olarak 5347621 sayısını inceleyelim.
9 rakamı hemen göze çarpıyor, 9’un üstünü çizelim. 5+4, 2+7 ve 3+6 toplamları 9’un tam katı olduğu için bu rakamların üstünü çizelim. Geriye yalnızca 1 rakamı kaldı. 1’in 9’a bölümünden kalan 1 olur.
O halde 5347621 sayısı 9 ile tam bölünüyor diyebiliriz.
Soru 2:
Dokuz basamaklı 171598416 doğal sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm:
Dokuz basamaklı bu sayının 9 ile bölümünden kalanı bulmak için adım adım ilerleyelim.
- 9 rakamı göze çarpıyor, üstünü çizelim.
- Daha sonra 1+7+1=9 olduğu için (1,1,7) rakamlarını da çizelim.
- 5+4 ve 8+1 toplamları da 9’un katı olduğu için 1,4,5 ve 8 rakamlarının da üstünü çizelim.
- Geriye 6 rakamı kaldı.
- 6’nın 9’a bölümünden kalan 6 olacağından sorunun cevabı 6 olur.
Soru 3:
Beş basamaklı 1×894 doğal sayısı 9 ile tam bölünebildiğine göre x kaçtır?
Çözüm:
Sayının içinde harf bulunması sizi korkutmasın. Bir şey fark etmiyor, yine aynı yöntemle çözeceğiz.
- 9 rakamı 9’un tam katı olduğundan için 9’un üzerini çizelim.
- 8+1=9 toplamı da 9’a tam bölündüğü için 1 ve 8’in de üzerini çizelim.
- Geriye x ve 4 rakamları kaldı.
- x+4 toplamının 9’un katı olması yeterli. O halde x yerine yalnızca 5 rakamını yazabiliriz.
Soru 4:
Dört basamaklı 28×5 sayısı 9 ile kalansız bölünebiliyor. Buna göre, x yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm:
Hafifletme yöntemine göre üzerini çizeceğimiz hiç bir rakam yok. Biz de rakamları toplarız. 2+5+8+x yani 15+x toplamının 9 ile kalansız bölünmesi için toplam 9, 18, 27… gibi bir sayı olmalı. x bir rakam olduğu için 15+x=18 olabilir. Bu durumda x=3 olur.
Soru 5:
Altı basamaklı 2164×14 sayısı 9’a tam bölünmektedir. Buna göre, x yerine yazılabilecek rakamları bulunuz.
Çözüm:
Dikkat ederseniz 2+1+6 ve 4+4+1 toplamları 9’a eşit, yani 9’a tam bölünüyorlar. Tüm bu rakamların üzerini çizelim. Geriye yalnızca x rakamı kaldı. O halde x yerine 0 ve 9 rakamları yazılabilir. Dikkat ettiyseniz x rakamı ilk basamakta (en solda) olmadığı için sıfır değerini kullanabilirsiniz.
Soru 6:
Beş basamaklı 6x5x7 sayısı 9 ile tam bölünen bir doğal sayıdır. Buna göre, x yerine hangi rakamlar yazılabilir?
Çözüm:
6+5+7=18 toplamı 9’un tam katı olduğundan 5,6 ve 7 rakamlarının üzerini çizelim. Geriye x+x toplamı yani 2x kaldı. O halde x yerine 0 ve 9 rakamları yazılabilir.
9 ile bölünebilme kuralını uygularken, tıpkı 3 ile bölünme kuralında olduğu gibi dilediğiniz anda hafifletme yaparak işleme devam edebilirsiniz.
Soru 7:
Altı basamaklı 293xy5 sayısı 9 ile tam bölündüğüne göre x+y toplamının alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm:
9’un üzerini direkt çizelim. Geriye 2+3+5+x+y yani 10+x+y toplamı kaldı. Bu toplamın 9 ile tam bölünmesi için toplamın değeri 9,18,27,36,… değerlerinden biri olabilir. Bu durumda x+y toplamı 8 ve 17 değerlerini alabilir.
NOT: x ve y birer rakam olduğu için toplamlarının en çok 18 olabileceğini unutmayın.
9 ile bölümünden kalan sorularında ne yapmalıyız?
Bir sayının 9 ile bölünmesinden elde edilen kalanın 0 (sıfır) olmadığı yani 1,2,3,4,5,6,7,8 rakamlarından biri olduğu durumlarda kalanlı bölme vardır deriz. Bu tür kalanlı bölünebilme sorularında yine aynı yöntemleri kullanacağız.
Soru 8:
Beş basamaklı 5×678 sayısının 9 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre x yerine hangi rakamlar yazılabilir?
Çözüm:
5×678 sayısının rakamlarına dikkatlice baktığımızda 5+6+7 toplamının 18 olduğunu, yani 9’a tam bölündüğünü görebiliriz. O halde 5,6 ve 7 rakamlarının üzerini çizelim. Geriye x ve 8 kaldı. 8+x toplamının 9’a bölümünden kalanın 3 kalması için x yerine yalnızca 4 gelebilir.
Soru 9:
Beş basamaklı 23×75 sayısının 9 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, x kaç olabilir?
Çözüm:
23×75 sayısındaki 2 ve 7 rakamlarının üzerini çizelim, çünkü toplamları 9’un katı oluyor. Geriye 3,5 ve x rakamları kalıyor. 3+5+x toplamının yani 8+x’in 9’a bölümünden kalanın 1 olması isteniyor. O halde x yerine sadece 4 rakamı gelebilir.
Birden fazla işlem bulunan soruda 9 ile bölümünden kalanı nasıl buluruz?
Bazı sorularda birden fazla sayıda sayı olabiliyor, ya da işlem bulunabiliyor. Aşağıdaki gibi durumlar olursa 9 ile bölünme kuralını nasıl uygulayacağımızı görelim.
- Birden fazla sayının toplamı ya da farkı varsa
- Birden fazla sayının çarpımı varsa
- Bir sayının pozitif tamsayı kuvvetini vermişse
Yukarıdaki durumlarda uygulayacağımız taktik şöyle:
i) Her bir sayının ayrı ayrı 9 ile bölümünden kalanı hesapla.
ii) Kalan sayılarla işleme devam et.
iii) En son bulduğun sayının 9’a bölümünden kalanını hesapla.
Burada, daha önce yaptığımız işlemlerin tamamen aynısını yapıyoruz. Yaptığımız şey, birden fazla soruyu sanki aynı soru içinde çözüyormuşuz gibi 9 ile bölünme kuralını uyguluyoruz. Bir kaç soru çözerek pekiştirelim.
Soru 10:
(528187).(12345) çarpımının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Burada sayıları çarpmakla vakit kaybetmeyeceğiz merak etmeyin. Zaten buna gerek de yok. Çünkü taktiğe göre her bir sayının 9 ile ayrı ayrı bölümünden kalanı bulmak yeterli olacak. Daha sonra bulduğunuz kalanları birbiriyle çarparak yeni bir sayı elde edeceğiz. Son olarak bulduğumuz sayının 9 ile bölümünden kalanını hesaplayıp sonuca gideceğiz.
Önce 528187’in 9 ile bölümünden kalanı bulalım.
2+7 ve 1+8 zaten 9’a tam bölünüyor, bu yüzden 1,2,7 ve 8 rakamlarının üzerini çizelim. Geriye sadece 5 ve 8 rakamı kaldı. 5+8=13 ün 9’a bölümünden kalan 4 tür. Bunu saklayalım.
Şimdi 12345 sayısı 9’a bölündüğünde kalan ne olur hesaplayalım.
4+5=9 toplamı hemen göze çarpıyor. 4 ve 5’in üzerini çizelim. Geriye 1+2+3 toplamı yani 6 kaldı. 6 rakamının 9’a bölümünden kalan 6 olur.
Elde ettiğimiz kalanları yani 4 ve 6’yı çarparsak 4.6=24 elde ederiz. 24’ün 9 ile bölümünden kalan 2 olacaktır.
Soru 11:
(2345)3 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Burada tek yapmamız gereken önce 2345 sayısının 9’a bölümünden kalanı bulup işlemi hafifletmek. Daha sonra bulduğumuz kalanla üslü işlemimizi yapıp sonuca gideceğiz.
- 2345 sayısında 4+5=9 olduğu için 4 ve 5 rakamlarını silelim.
- Geriye kalan 2+3=5 in 9 ile bölümünden kalan yine 5 olur.
- Şimdi üslü işleme geçebiliriz. 53=125 sayısı 9’a bölündüğünde kalanı bulmak için yine rakamları toplamını bulalım.
- 1+2+5=8 sayısının 9 ile bölünmesinden kalan 8 olur.
O halde (2345)3 sayısının 9 ile bölümünden 28 kalır.
Çarpanlarından biri 9 olan sayılarda bölünebilme kuralları
Bir sayının çarpanlarından biri 9 ise o sayı 9’e tam bölünür, yani 9 ile bölümünden kalan sıfır olur. Bu bilgiyi bu türden soruları çözerken kullanacağız.
Soru 12:
10.11.12.13.14.15.16.17 çarpımının 9’a bölümünden kalanı kaçtır?
Çözüm:
Bu çarpma işleminde 9 çarpanını aramaya çalışalım. Eğer bulabilirsek kalan direkt sıfırdır diyebileceğiz. Bu ifadede 9 çarpanı direkt göze çarpmıyor. Fakat 9=3.3 olduğu için çarpımdaki sayıların içinde iki tane 3 çarpanı bulmaya çalışalım.
Dikkat ederseniz 12=3.4 ve 15= 3.5 olduğu için istediğimizi bulduk. Yani 9 çarpanı bu ifadenin içinde 3.3 olarak gizlenmiş.
O halde soruda bize verilen çarpımın sonucu 9 ile bölündüğünde kalan 0 (sıfır) olacaktır.
Soru 13:
1! + 2! + 3! + ….+ 15! toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
1! = 1
2! = 1.2 = 2
3! = 1 2.3
4! = 1.2.3.4
5! = 1.2.3.4.5
6! = 1.2.3.4.5.6
Bu şekilde yazmaya devam ettiğimizde (6!)’den itibaren toplamda yer alan tüm terimlerde iki tane 3 çarpanı olduğunu görebiliriz. O halde (6!)’den itibaren olan sayıların hepsi 9’e tam bölündüğü için işleme dahil etmeye gerek yoktur. Geriye kalanların toplamını bulalım.
1! + 2! + 3! + 4! + 5!
1+2+6+24+120
Toplamın sonucu 153 olur. 153’ün rakamları toplamı 1+5+3=9 olduğu için 9 ile bölümünden kalan sıfır olur.
Video Çözümlü Sorular
9 ile bölünme sorularını pekiştirmek için Youtube’den çözümlü bir kaç soru ekledik.
Soru 14:
Çözüm:
Soru 15:
Çözüm:
Soru 16:
Çözüm:
Soru 17:
Soru 18:
Çözüm 17-18:
