by Bölünebilme kurallarından 10 ile bölünebilme kuralını öğrenmeye hazır mısınız? Bu sayfada 10 ile tam bölünebilme kuralı nasıl uygulanır, 10 ile bölünebilme soruları nasıl çözülür, çözümlü örnek sorularla öğreneceksiniz.
10 ile bölünebilme kuralı nedir?
Kaç basamaklı olursa olsun herhangi pozitif bir tamsayının 10 ile bölümünden hesaplarken uyguladığımız yöntemler bütününe 10 ile bölünebilme kuralı diyeceğiz. Bir sayının 10’a bölümünden kalanı hesaplamak için o sayının sadece birler basamağına bakmak yeterli olacaktır. Örnek soruları çözerken bunu zaten yeteri kadar kullanacağız.
10 ile bölünebilme kuralının uygulaması nasıl olur?
Pozitif bir tamsayının 10 ile bölümünden kalanı hesaplamak için sayının son basamağını (yani birler basamağındaki rakamı) kullandığımızı söylemiştik. Birler basamağındaki rakamın 10 ile bölümünden kalanı hesaplarsak, cevabı da bulmuş oluruz. Kalanı bulmak için sayının diğer basamaklarına bakmaya bile gerek yok.
10 ile bölümden kalanlar kümesi
Bir sayının 10’a bölümünden kalanların kümesi {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dir. bunun anlamı şudur: Siz bir sayıyı 10’a böldüğünüzde bu rakamlar dışında bir kalan bulamazsınız.
Eğer bölümden kalan 0 (sıfır) verilmişse demek ki sayımız 10 ile tam bölünüyordur.
Bir soruda “abc sayısı 10 ile tam bölünüyor.” gibi bir ifade görürseniz abc sayısının 10 ile kalansız bölündüğünü yani kalanın 0 (sıfır) olduğunu bilmelisiniz.
10 ile tam bölünebilme kuralı nedir?
Bölünebilme kuralları arasında belki de uygulaması en kolay olanı 10 ile bölünme kuralıdır. Bu kuralda bakmanız gereken tek yer sayının son basamağıdır, yani birler basamağındaki rakamdır.
10 ile tam bölünebilme kuralını uygularken dikkat etmeniz gereken şudur:
Sayının son basamağındaki rakam
- 0 (sıfır) ise o sayı 10 ile tam bölünebiliyor
- 0 (sıfır) değilse 10 ile tam bölünemiyor
demektir.
O halde pozitif bir tam sayının 10 ile tam bölünüp bölünmediğini bilmek için bölme işlemini yapmanıza hiç gerek yokmuş. Olayın tamamı son rakamda.
10 ile bölümünden kalanı biliyorsak
Bir doğal sayının 10 ile bölümünden kalanı kaç biliyorsak, o sayının son basamağındaki rakamın kaç olacağını tam olarak biliriz. Çünkü son basamaktaki rakam, yani birler basamağı o sayının 10 ile bölümünden kalanına eşittir.
Örneğin; Dört basamaklı abcd sayısı 10 ile bölündüğünde kalan 7 ise, birler basamağındaki rakam yani d’nin değeri de 7 olur. Benzer şekilde üç basamaklı xyz sayısının 10’a bölümünden kalan 3 ise z=3, kalan sıfır ise z=0 olur.
Yani özetle son basamaktaki rakam neyse, kalan sayı da o olur.
Kalan sayıya göre birler basamağının alacağı değerler
Daha önce bir sayının 10 ile bölümünden kalanlar kümesinin {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} olduğunu söylemiştik. 10 ile bölündüğünde kalanı bilinen bir sayının birler basamağının kaç olacağını gösteren tablo aşağıdadır.
| KALAN SAYI | BİRLER BASAMAĞI |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
10 ile bölünebilme soruları ve çözümleri
10 ile bölüm kuralını iyice pekiştirmek için örnek sorular çözmekte fayda var. Ne de olsa bir kuralı iyice öğrenmek için en sağlıklısı yeteri kadar uygulama yapmaktan geçer.
10 ile bölünebilme kuralının uygulamanın oldukça kolay olduğunu daha önce söylemiştik zaten. Kolay zor ayırt etmeden en temelden daha ileri seviyeye kadar farklı sorular çözmeye çalışacağız.
Biz burada daha çok klasik tarzdaki bölünebilme sorularını çözeceğiz. Daha sınav tarzı yeni nesil soruları çözebilmek için kuralı iyice öğrenmiş olmak size büyük kolaylık sağlayacaktır. Ne de olsa yeni nesil bölünebilme sorularını klasik sorulardan ayıran tek şey hikayeleştirilmiş olmasıdır. Yoksa yapılan işlemler hep aynıdır.
Soru 1:
Aşağıda verilen doğal sayıların 10 ile bölümünden kalan kaçtır?
- 584026
- 1002475
- ab1d3
- 3x4y5z
- 1abcd0
- 29mn
Çözüm:
Bir doğal sayının 10 ile bölüm kuralının çok kolay ve sade olduğunu söylemiştik. Yalnızca son rakama bakmanız yeterli olacaktır. Zaten kalan sayı direkt son basamaktaki rakama, yani birler basamağına eşit olur. O halde verilen sayıların 10 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 6, 5, 3, z, 0 ve n olur.
Soru 2:
Beş basamaklı a703b ve üç basamaklı d5e sayıları 10 ile bölündüğünde sırasıyla 4 ve 7 kaldığına göre, b+e toplamı kaçtır?
Çözüm:
10 ile bölümden kalan söz konusu olduğunda, özel bir durum olmadıkça birler basamağı dışındaki rakamların pek bir önemi yoktur. a703b sayısında kalan 4 olduğuna göre demek ki b=4 olur. d5e sayısı 10 ile bölündüğünde kalan 7 olduğundan e=7 olur. O halde b+e toplamının değeri 4+7=11 bulunur.
Söz konusu şey 10 ile bölüm olduğu için, bu soruda a ve d rakamlarının soruya bir etkisi ya da katkısı olmuyor.
Soru 3:
A = 806 . 719 + 347 . 614
olduğuna göre, A’nın 10 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Daha önce de yaptığımız gibi 10 ile bölümden kalanı bulurken yine her bir sayının 10 ile bölümünden ayrı ayrı kalanı bulup, bulduğumuz sayılarla işleme devam ederiz.
Burada 806, 719, 347 ve 614 sayılarının 10’a bölümünden kalanlar sırasıyla 6, 9, 7 ve 4’tür. Bulduğumuz bu sayılarla işleme devam edersek
6 . 9 + 7 . 4 = 54 + 28 = 82
bulunur. 82’den elde edilecek kalan da 2 olur. Burada dikkatinizi çekmek istediğimiz bir nokta var. Aslın 54 ve 28 sayılarını toplamak yerine bu sayıların 10’a ayrı ayrı bölümünden kalanı hesaplayarak da işleme devam edebilirdik. Yani 54+28 yerine 4+8 toplamını kullanmak daha az işlem demektir. Bu da işlem hatası olasılığını azaltır.
Soru 4:
Rakamları birbirinden farklı ve beş basamaklı 2084a sayısı 10 ile bölündüğünde kalan 5’ten küçük olmaktadır.
Buna göre, x yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaç olur?
Çözüm:
10 ile bölüm kuralı gayet açık: Yalnızca birler basamağındaki rakama bakacağız. Kalan 5’ten küçük olduğuna göre, birler basamağına {0,1,2,3,4} kümesindeki elemanlardan biri gelebilir. Yani a’nın alacağı değer bu elemanlardan biri olabilir.
Soruda verilen bilgiye dikkatli baktığımızda “rakamları birbirinden farklı” yazdığını görebiliriz. Yani a’nın alacağı değerlerden biri 0, 2 ya da 4 olamaz. Geriye sadece 1 ve 3 kalıyor. O halde a yerine gelebilecek rakamların toplamı 1=4 olabilir.
Soru 5:
Rakamları farklı ve altı basamaklı a8695b sayısı 10’a bölündüğünde kalan 7 olduğuna göre, a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
a8693b sayısı 10 ile bölündüğünde kalan 7 olduğuna göre, b=7 olur. Sayımızın rakamları birbirinden farklı olduğuna göre, a’nın alabileceği değerler 1, 2, 4 ve 5 olabilir. Bu durumda a’nın alabileceği değerlerin toplamı da 1+2+4+5=12 olur.
Soru 6:
N pozitif tam sayıdır. N’nin 10 ile bölümünden kalan 7 olduğuna göre,
2.N3 + 3.N2
ifadesinin 10 ile bölümünden kalan kaç olur?
Çözüm:
N sayısı 10 ile bölündüğünde kalan 4 oluyorsa, o halde N sayısı 7, 17, 27, … sayılarından biri olabilir. İşlem kolaylığı açısından N yerine 7 değerini kullanalım. Burada 2.N3 ve 3.N2 ifadelerinin ayrı ayrı kalanını hesaplayıp işleme devam edebiliriz.
2.73 + 3.72
ifadesindeki her bir sayının son basamağındaki rakamı kullanmamız yeterli olacaktır. Burada 73 ün birler basamağı 3; 72 nin birler basamağı 9 olur. O halde bunlar yerine 3 ve 9 kullanalım.
2.3 + 3.9 = 6 + 27 = 33
olur. Son durumda 33’ün 10’a bölümünden kalan 3 olur.
Soru 7:
3a9b6 + c078d toplamının 10 ile tam bölünebilmesi için d kaç olmalıdır?
Çözüm:
10 ile bölümden kalan bulurken son basamaktaki rakamları kullanıyoruz. 7+x toplamının 5’e bölümünden kalanın sıfır olması için x yerine 3 ya da 8 rakamlarından biri gelmelidir.
Soru 8:
(18x).(216) çarpımının 10 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, x ‘in alacağı değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
Daha önce de yaptığımız gibi sorunun çözümünü yalnızca son rakamı kullanarak yapalım. Kalanın 4 olması için x ile 6’nın çarpımından bulduğumuz sayının birler basamağı 4 olmalıdır. 6 ile çarptığımız bir sayının son basamağının 4 olması için x yerine 4 ya da 9 gelebilir.
O halde, x’in alacağı değerlerin toplamı 4+9=13 olur.
Soru 9:
1! + 2! + …. + 15!
toplamının 10’a bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
10=5.2 olduğundan toplam ifadesinde 2 ve 5 çarpanı olan terimler zaten 10 ile kalansız bölüneceğinden bunlar yerine sıfır yazabiliriz. Toplam ifadesinde bu sayıların etkisi yoktur. O halde bunları görmezden gelebiliriz. Bu durumda geriye
1! + 2! + 3! + 4!
1 + 2 + 6 + 24
toplamı kalıyor. Bu toplamın sonucu 33 olur. Bu durumda 33 sayısı 10 ile bölünürse kalan 3 bulunur. Bu da bizim sorumuzun yanıtı olur.
Soru 10:
101.102.103. …. .108.109
çarpımının 10 ile bölümünden kalan kaç olur?
Çözüm:
Çarpımdaki sayılardan biri 105’tir. Yani içinde 5 çarpanı olan bir tek bu sayı var. İçinde çarpan olarak 2 olan birden fazla sayı var. Bize bir tanesi bile yeterli. Çünkü 5 ile çarptığımızda 10 elde edilir. O halde kalan sıfır olur.
Soru 11:
Soru 12:
Çözüm 11-12:
Diğer sayılarda bölünebilme kurallarını gördünüz mü?
