by Asal sayılar her zaman merak uyandırmıştır. Peki nedir bu asal sayı? Kaç tanedir? En küçüğü hangisidir? En büyük asal sayı var mıdır? Sonlu mudur sonsuz mudur? 1 asal sayı mıdır? Negatif asal sayı var mı? Bir sayının asal olup olmadığını nasıl anlarız? Bunlar gibi onlarca sorunun yanıtını bulmaya ne dersiniz? 35 adımda asal sayı hakkında merak edilen sorulara yanıt verdik.
- Asal Sayı Nedir?
- 1 Asal Sayı mıdır?
- 100’e Kadar Asal Sayı Listesi
- Asal Sayıların Özellikleri
- Bileşik Sayılar ve Asal Sayılar Arasındaki Farklar
- TYT Asal Sayılar (konu anlatımı)
- Asal Sayıları Bulmanın Kolay Yolu
- Eratosthenes Algoritması ile Asal Sayı Bulma
- En Küçük Asal Sayı Kaçtır?
- En Büyük Asal Sayı Nedir?
- Aralarında Asal Ne Demektir?
- Aralarında Asal Sayılar İçin Örnekler
- Asal Rakamlar Hangileridir?
- Çift Asal Sayılar Nelerdir?
- Asal Sayılar Negatif Olabilir mi?
- İkiz Asal Sayılar Hangileridir?
- Hangi Sayılar Asal Değildir?
- Tüm Asal Sayılar Tek midir?
- 1’den 100’e Kadar Asal Sayılar
- 1’den 200’e Kadar Asal Sayılar
- 200 ile 300 Arası Asal Sayılar
- 1’den 1000’e Kadar Asal Sayılar
- İki Basamaklı Asal Sayılar
- Üç Basamaklı Asal Sayılar
- 53 Asal mı?
- 59 Asal mı?
- 73 Asal mı?
- 87 Asal mı?
- 91 Asal Sayı mı?
- 97 Asal mı?
- İki Basamaklı En Büyük Asal Sayı Kaçtır?
- İki Basamaklı En Küçük Asal Sayı Kaçtır?
- Üç Basamaklı En Küçük Asal Sayı Kaçtır?
- Üç Basamaklı En Büyük Asal Sayı Kaçtır?
- Asal Sayı mı Değil mi?
Asal Sayı Nedir? Tanımı ve Özellikleri
Asal sayılar matematiğin temel kavramlarından biridir. Pek çok farklı şekilde tanımlanabilir, açıklanabilir ve örneklenebilir. Ne demişler en iyi tanım aklımıza en çok yatandır. Bakalım hangisi size en uygun?
- Yalnızca 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük tam sayılara asal sayı denir .
- Kendisi dışında böleni olmayan 1’den büyük olan tamsayılardır.
- Asal sayılar, kendisi ve 1 dışında böleni olmayan pozitif tamsayılardır.
- 1 ve kendisi hariç çarpanı olmayan pozitif tamsayılardır.
- Asal sayılar, yalnızca iki pozitif tamsayı böleni olan sayılardır.
- Tüm tamsayıların yapı taşlarıdır.
- Yalnızca bir tanesi hariç tümü tek olan sayılardır.
Bu liste öylece uzayıp gider. Burada önemli olan çarpan ve bölen kavramlarının size yön vermesidir.
1 Asal Sayı mıdır?
Asal sayılar, yalnızca iki çarpanı (1 ve sayının kendisi) olan sayılardır. Örneğin çarpanları yalnızca 1 ve 5 çarpanları olan 5 sayısını ele alalım. Bu, onun bir asal sayı olduğu anlamına gelir. İkiden fazla çarpanı (1, 2, 3 ve 6) olan 6 sayısının başka bir örneğini ele alalım. Bu, 6’nın asal sayı olmadığı anlamına gelir. 6 bileşik bir sayıdır.
Şimdi 1 sayısını örnek alırsak, onun tek bir çarpanı olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, 1 sayısı asal sayı değildir. Çünkü asal sayı, tam olarak iki çarpana sahip olmalıdır. Bu, 1’in ne asal ne de bileşik sayı olmadığı, benzersiz bir sayı olduğu anlamına gelir.
100’e Kadar Asal Sayı Listesi
1’den 100’e kadar toplam 25 tane asal sayı vardır. 1’den 100’e kadar olan asal sayıların tümü aşağıda verilmiştir:
| Bulunduğu aralık | Asal Sayılar |
| 1’den 10’a kadar | 2, 3, 5, 7 |
| 11’den 20’ye kadar | 11, 13, 17, 19 |
| 21’den 30’a kadar | 23, 29 |
| 31’dan 40’a kadar | 31, 37 |
| 41’tan 50’ye kadar | 41, 43, 47 |
| 51’den 100’a kadar | 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 |
Asal Sayıların Özellikleri
Aslında çok sayıda özelliği var. Bunların önemli olanlarından bazıları aşağıdadır.
- 1’den büyük bir tam sayıdır.
- Tam olarak iki çarpanı vardır.
- Çift olan yalnızca tek bir asal sayı 2’dir.
- Herhangi iki asal sayı her zaman aralarında asaldır.
- Her sayı, asal sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir.
Bileşik Sayılar ve Asal Sayılar Arasındaki Farklar
Asal sayı , tam olarak iki çarpanı olan 1’den büyük sayılardır, bileşik sayı ise ikiden fazla çarpanı olan sayılardır. Örneğin, 17 yalnızca tek şekilde çarpanlara ayrılabilir, yani 1 × 17 ya da 17 × 1 şeklinde. Yalnızca iki çarpanı vardır, 1 ve 17. Bu yüzden, 17 bir asal sayıdır.
Bileşik sayılar, ikiden fazla çarpanı olan 1’den büyük bir sayılardır . Örneğin, 6 birden çok şekilde çarpanlara ayrılabilir. Yani 6’nın çarpanları 1, 2, 3 ve 6’dır. İkiden fazla çarpanı vardır. Bu nedenle, 6 bir bileşik sayıdır.
| Asal Sayılar | Bileşik Sayılar |
| En küçük asal sayı 2’dir. Çift olan tek asal sayıdır. | En küçük bileşik sayı 4’tür. |
| 1’den büyüktür. Sadece iki çarpanı vardır. | En az üç çarpanı olan 1’den büyük sayılardır. |
| İlk beş asal sayı 2, 3, 5, 7, 11, 13 tür. | İlk beş bileşik sayı 4, 6, 8, 9, 10 dur. |
TYT Asal Sayılar (Konu anlatımı)
Sevgili öğrenciler istedik ki TYT asal sayıları canlı ders olarak Muhammet hocanın etkili anlatımıyla inceleyin, görün ve konuyu pekiştirin.
Asal Sayıları Bulmanın Kolay Yolu
Aşağıda asal sayıları bulmanın iki farklı yolunu paylaşacağız.
- 1. Yol >> x2 + x + 41 ifadesinde x gördüğümüz yere tamsayıları yazın. Bu yöntemi kullanarak 40 tan büyük tüm asal sayıları bulabilirsiniz. Örnek olarak x yerine sırasıyla 0, 1 ve 2 yazdığınızda 41, 43 ve 47 asal sayılarını elde edersiniz.
- 2. Yol >> 2 ve 3 dışındaki her bir asal sayıyı 6x – 1 ya da 6x + 1 biçiminde yazabilirsiniz. 2 ve 3’ten farklı bir sayımız varsa 6x + 1 ya da 6x – 1 şeklinde ifade etmeye çalışarak asal olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin x=1 için 6.1 – 1 = 5 ve 6.1 + 1 = 7 bulunur. Benzer şekilde x=2 için kontrol ettiğinizde 6.2 + 1= 13 ve 6.2 – 1 = 11 bulursunuz. Demek ki 5, 7, 11 ve 13 sayılar asaldır.
Eratosthenes Algoritması ile Asal Sayı Bulma
Eratosthenes Kalburu, verilen herhangi bir sınıra kadar asal sayıları bulmaya yardımcı olan eski bir algoritmadır. Yukarıdaki şekil, bu yöntem kullanılarak bulunan 100’e kadar olan asal sayıları göstermektedir. Şekilde çaprazlanmamış sayılar Eratosthenes Kalburu kullanıldıktan sonra kalanlar asalları temsil ediyor.
Eratosthenes Kalburu ile Adım Adım Asal Sayı Nasıl Bulunur
Aşağıdaki adımlar ile, bu yöntem kullanılarak 100’e kadar tüm asal sayıların nasıl bulunacağını öğreneceksiniz.
- Önce yukarıda gösterildiği gibi 2’den 100’e kadar bir sayı listesi oluşturun. Tüm asal sayılar 1’den büyük olduğu için 1 sayısını bırakıyoruz.
- Listedeki ilk 2 numaradan başlıyoruz. 2’nin katı olan her sayının üzerini çiziyoruz. Örneğin, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 vb. 100’e kadar çarpıyoruz.
- Ardından, 3’ün katı olan bir sonraki işaretlenmemiş (çizilmemiş) sayıya geçin. 3’ün katı olan her sayının üzerini çizin. Böylece kalanları geçiyoruz. Örneğin, 9, 15, 21 vb. 100’e kadar.
- Ardından, 3’ten sonra listedeki bir sonraki çaprazlanmamış sayıya geçiyoruz ki bu 5 olan 5’in katı olan her sayının üzerini çizin. Bu, zaten çarpılan birkaç katı içerecektir. Böylece kalanları geçiyoruz. Örneğin, 25, 35, 55 vb. 100’e kadar.
- Listede 5’ten sonra çaprazlanmamış bir sonraki sayı 7’dir. Bu nedenle, 7 hariç 7’nin katı olan her sayının üzerini çizin . Bu, zaten çaprazlanmış birkaç katı içerecektir. Böylece kalanları geçiyoruz. Örneğin 49. adımdan sonra bize sadece asal sayılar kalacak. Başka bir deyişle, Eratosthenes Kalburu tüm sayıları süzer ve geride sadece asal sayılar kalır.
En Küçük Asal Sayı Kaçtır?
Öncelik asal sayıların 1’den büyük olduğunu hatırlayın. Demek ki en küçük asal sayı 1 değilmiş. 1’den sonraki ilk sayı olan 2 sayısı yalnızca 1’e ve kendisine tam bölünebiliyor. O halde en küçük asal sayı 2’dir diyebiliriz.
En Büyük Asal Sayı Nedir?
Bilindiği üzere sayılar sonsuzdur. Bu yüzden en büyük asal sayı belirlenemez. Fakat 2018 tarih itibariyle hesaplanan en büyük asal sayı 22 milyondan fazla basamaklı olduğu biliniyor.
Aralarında Asal Ne Demektir?
Her hangi iki tamsayı düşünün. Bunlar asal sayı olmadıkları halde aralarında asal olabilirler. İki sayının aralarında asal olabilmesi için 1’den başka ortak bölenlerinin olmaması gerekir. Örneğin 10 ve 27 sayılarının her ikisi de asal olmamasına rağmen, bu iki sayı aralarında asaldır deriz. Çünkü bunların 1 dışında ortak bölenleri (çarpanları) yoktur.
Aralarında Asal Sayılar İçin Örnekler
Aşağıdaki tabloda A ve B gibi iki sayının aralarında asal sayılar olup olmadığını örneklerle göstermeye çalışalım. 1 sayısı hariç ortak çarpanları yoksa bunlar aralarında asal sayılara örnek olabilir.
| A | B | Ortak çarpanları | Aralarında asal mı? |
| 8 | 15 | 1 | Evet |
| 12 | 21 | 1 ve 3 | Hayır |
| 27 | 32 | 1 | Evet |
| 42 | 91 | 1 ve 7 | Hayır |
| 60 | 57 | 1 ve 3 | Hayır |
Asal Rakamlar Hangileridir?
Asal olan sayıları küçükten büyüğe doğru sıraladığımızda 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … yeşil renkli olanlar asal rakamlardır. Toplam 4 tane asal rakam vardır.
Çift Asal Sayılar Nelerdir?
Asal sayı denince akla sanki yalnızca tek sayılarmış gibi geliyor. Bu yüzden çift asal sayı var mıdır sorusu sıkça sorulur. Cevabı evet çift asal sayı vardır ve yalnızda bir tanedir. Çift olan tek asal sayı 2 dir. Sonuç olarak diyebiliriz ki 2 sayısı hem en küçük hem de çift olan tek asal sayı olma özelliğini taşıdığı için ayrı bir öneme sahiptir.
Asal Sayılar Negatif Olabilir mi?
Merak edilen bir diğer soru “negatif asal sayı var mıdır?” Bilindiği gibi asal sayıların tümü 1’den büyüktür ve en küçük asal sayı 2’dir. 2’den daha küçük asal bir sayı olmadığına göre negatif asal sayı diye bir şey yoktur.
İkiz Asal Sayılar Hangileridir?
Basitçe ifade edecek olursak aralarında 2 fark bulunan asal sayılara ikiz asallar denir. İkiz asallara örnek olarak (3, 5) ve (5, 7) gibi sayıları verebiliriz. 100’e kadar olan ikiz asallar (3, 5), (5, 7) , (11, 13) , (17, 19) , (29, 31) , (41, 43) , (59, 61), (71, 73) şeklinde listelenebilir. İkiz asal sayılar sonsuz mudur sorusuna “evet sonsuzdur” biçiminde yanıt verebiliriz.
Hangi Sayılar Asal Değildir?
Bir sayı asal değilse bileşik sayı adını alır. Bileşik sayılar, en az 3 farklı çarpanı olan sayılardır. Örneğin 14 sayısını 1, 2, 7 ve 14 olmak üzere dört çarpanı olduğu için bileşik bir sayıdır. Benzer şekilde, 9 sayısının 1, 3 ve 9 olmak üzere toplam üç farklı çarpanı olduğu için bileşik bir sayıdır. Yani 14 ve 9 sayıları asal değildir.
Tüm Asal Sayılar Tek midir?
Hayır, tüm asal sayılar tek değildir. Tek istisna çift olan 2 sayısıdır. 2, hem çift hem de asal olan tek sayıdır. Bu yüzden tüm asal sayıların tek olduğu söylenemez.
1’den 100’e Kadar Asal Sayılar
1 ile 100 arasında toplam 25 tane asal sayı vardır. Bu sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 şeklinde listelenir. 100’e kadar olan asal sayılardan yalnız bir tanesi çifttir.
1’den 200’e Kadar Asal Sayılar
1 ile 200 arasında toplam 46 tane asal sayı vardır. 1’den 100’e kadar 25 tane olduğunu söylemiştik. Demek ki 100’den 200’e kadar 46 – 25 = 21 tane asal sayı vardır. Bu sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 biçiminde listelenebilir.
200 ile 300 Arası Asal Sayılar
200’den 300’e kadar 16 tane asal sayı vardır. Bunlar 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293 biçiminde listelenebilir. 200’e kadar 46 asal sayı bulmuştuk. demek ki 300’e kadar toplam 46+16 = 62 tane asal sayı vardır.
1’den 1000’e Kadar Asal Sayılar
1 ile 1000 arasında toplam 168 tane asal sayı vardır. Bunların 168 – 25 = 143 tanesi üç basamaklıdır. Bu sayıları aşağıdaki gibi grupladık.
- 2, 3, 5, 7
- 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
- 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
- 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293
- 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397
- 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499,
- 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599
- 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691
- 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797
- 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887
- 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
İki Basamaklı Asal Sayılar
İki basamaklı asal sayılar 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97 dir. 100’e kadar toplam 25 asal sayı vardır. 2, 3, 5 ve 7 sayılarını saymazsak demek ki iki basamaklı 25 – 4 = 21 tane iki basamaklı asal sayı vardır.
Üç Basamaklı Asal Sayılar
İki basamaklı asal sayılar 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97 dir. 100’e kadar toplam 25 asal sayı vardır. 2, 3, 5 ve 7 sayılarını saymazsak demek ki iki basamaklı 25 – 4 = 21 tane iki basamaklı asal sayı vardır.
53 Asal mı?
53 çok büyük olmayan iki basamaklı bir sayıdır. Asal olup olmadığını tespit etmek zor değildir. 2, 3, 5, 7 ve 11 gibi, sayılara tam bölünemediğinden 53 asal sayıdır diyebiliriz.
59 Asal mı?
59 sayısı da yine 53 gibi büyük olmayan iki basamaklı bir sayıdır. Asal olup olmadığını tespit etmek için 2, 3, 5, 7 ve 11 gibi sayılara böleriz. Bu sayılara tam bölünememektedir. Çarpanlar 1 ve 59’dur. başka çarpanı da yoktur. Bu nedenle 59 asaldır diyebiliriz.
73 Asal mı?
73 tek sayı olduğu için 2 ile kalansız bölünemez. Rakamları toplamı 7+3= 10 ise 3 ile tam bölünmüyor. Son rakamı 0 ya da 5 olmadığı için 5 ile bölünemez. 7, 11 ve 13 gibi sayılara da tek tek böldüğümüzde kalan sıfırdan farklı oluyor, yani tam bölünmüyor. O halde 73 asal mı sorusuna yanıt olarak “asal değildir” diyebiliriz.
87 Asal mı?
87 sayısı asal mı değil anlamak için 2, 3, 5, 7 … gibi sayılara bölüyoruz. 87 tek olduğu için 2ile tam bölünmez. Rakamları toplamı 8+7=15 dır. Bu, 3’ün katı olduğu için 3’e tam bölünür. O halde 87 sayısı asal değildir.
91 Asal Sayı mı?
90 ile 100 arasındaki sayıların asal sayı olup olmadıkları genellikle kafaları karıştırır. İlk gördüğünüzde kesin asaldır diye düşündüğünüz sayı bazen asal sayı olmayabiliyor. Örneğin 91 sayısı 2, 3 ve 5 ‘e bölünmediği için asal sayı zannedilir. Oysa 7 ile tam bölünebiliyor. 91’in çarpanları 1, 7, 13 ve 91 dir. Dört tane çarpanı olduğu için 91 sayısı asal değildir.
97 Asal mı?
İki basamaklı bir sayı olduğu için asal mı değil mi tespiti kolaydır. Tek yapmanız gereken 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 gibi sayılara bölmek. 97 sayısı bu sayılara tam bölünemediği için 97 asal sayıdır diyebiliriz. Çarpanlar 1 ve 97 dir.
İki Basamaklı En Büyük Asal Sayı Kaçtır?
99’da başlayarak geriye doğru (çift sayılar hariç) tek tek test ettiğimizde 99 sayısının 1, 3, 9, 11, 33 ve 99 olmak üzere altı çarpanı olduğu için asal sayı değildir. 97 sayısının 1 ve 97 dışında çarpanı olmadığı için en büyük iki basamaklı asal sayıdır diyebiliriz.
İki Basamaklı En Küçük Asal Sayı Kaçtır?
Tüm asal olan sayıları küçükten büyüğe doğru sıraladığımızda iki basamaklı en küçük asal sayı hemen ortaya çıkar. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 … şeklinde sıralarsak 11 sayısının iki basamaklı en küçük sayı olduğunu rahatlıkla görebiliriz.
Üç Basamaklı En Küçük Asal Sayı Kaçtır?
Bir sayının asal olup olmadığını belirlemek için 1 ve kendisi haricinde başka çarpanı olup olmadığına bakarız. Örneğin üç basamaklı 100 sayısı çift olduğu için zaten asal olamaz. 101 sayısını incelediğimde 2, 3, 5, 7, 11, 13 ve 17 gibi saylara bölünemediğini görebilirsiniz. Demek ki 101 sayısı üç basamaklı en küçük sayıdır denilebilir.
Üç Basamaklı En Büyük Asal Sayı Kaçtır?
Üç basamaklı ve tek olan sayıları en büyükten başlayarak tek tek test ettiğimizde 999 sayısının 3 ve 9 gibi sayılara tam bölündüğünden asal olmadığını rahatlıkla görebiliriz. 997 sayısını 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 , 19 gibi sayılara bölmeyi deneyin. Hiç birine tam bölünmediğini fark edeceksiniz. Demek ki 997 sayısı üç basamaklı en büyük asal sayıdır.
Rakamları farklı üç basamaklı en büyük asal sayı hangisidir diye sorarsanız benzer şekilde sayıları tek tek denemeniz gerekiyor. Tüm işlemleri yaptığınızda üç basamaklı rakamları farklı en büyük asal sayının 983 olduğunu görürsünüz.
Asal Sayı mı Değil mi?
Bir sayının asal sayı olup olmadığını kanıtlamak için önce onu 2’ye bölmeyi deneyin ve bir tam sayı elde edip etmediğinize bakın. Eğer sonuç tamsayı ise demek ki asal sayı olamaz. Bir tam sayı elde edemezseniz, daha sonra onu diğer asal sayılara (3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…) bölmeyi deneyin.
Örnek Soru Çözelim
SORU:
n bir asal sayı, m, p ve q pozitif tamsayılar olmak üzere
n = 7.m.p.q
eşitliğine göre m + n + p + q toplamı kaçtır?
A) 10 B) 12 B) 17 C) 23 D) 28
ÇÖZÜM :
Biraz dikkat ederseniz çözümün çok kolay olacağını görürsünüz. 7.m.n.p çarpımının sonucunun n’ye eşit olduğunu, yani sonucun asal sayı olduğunu biliyoruz. Demek ki 7 sayısı ile 1 çarpılmış ki sonuç asal çıkmış. O halde m.n.p = 1 ise m=1, n=1 ve p= 1 olur. Buradan n = 7.1.1.1 = 7 elde edilir. Sonuç olarak m+n+p+q toplamı da 7+1+1+1 = 10 bulunur. Cevap A seçeneğindedir.
Faydalı Ders Videoları
Asal sayıları öğrenmek için Youtube’de pek çok kanal bulabilirsiniz. Biz sizle Mert Hoca’nın ders anlatım videosunu paylaşmak istiyoruz.
