by Aralarında asal ne demek? Aralarında asal sayılar nedir? Hangi sayılar aralarında asaldır? Örnek sorular ve bilmeniz gereken her şey burada. Daha önce “35 Adımda Asal Sayılar” başlıklı yazımızda asal sayılarla ilgili pek çok sorunun yanıtı vermiştik. Bu sayfada yalnızca iki sayının aralarında asal olma şartını örneklerle açıklayacağız.
Aralarında Asal Ne Demek?
1 sayısı dışında ortak bölenleri (ya da çarpanları) olmayan sayılar aralarında asaldır. Ortak çarpanları yalnızca 1 olan sayılara da aralarında asal sayılardır denir. İki sayının aralarında asal olması için bu sayıların asal sayı olmalarına gerek yok.
İki sayının aralarında asal olması
- 15 ve 28 sayılarının her ikisi de asal sayı değiller.
- 15 sayısının bölenleri 1, 3, 5 ve 15
- 28 sayısının bölenleri 1, 2, 4, 7, 14 ve 28 dir.
- Örnekte görüldüğü üzere 15 ve 28’in tek ortak böleni 1 dir.
- O halde 15 ve 28 aralarında asal sayılardır.
Yalnızca iki sayı için değil, daha fazla sayıda sayı için de aralarında asal olma durumuna bakılabilir. Örneğin 10, 18 ve 45 sayıları için benzer işlemleri yapalım.
Üç sayının aralarında asal olma durumu
- Sayıların üçü de asal sayı değil.
- 10 sayısının bölenleri 1, 2, 5 ve 10
- 18 sayısının bölenleri 1, 2, 3, 6, 9 ve 18
- 45 sayısının bölenleri 1, 3, 5, 9, 15 ve 45
- Sayılar ikişerli şekilde aralarında asal değildir.
- Üç sayının da 1 dışında ortak böleni yoktur.
10, 18 ve 45 sayıları ikişerli olarak aralarında asal olmamalarında rağmen, üçü birlikte aralarında asal sayılardır diyebiliriz. Aynı durumu 6, 9 ve 20 sayıları için de siz inceleyin. Göreceksiniz ki bu sayıların da tek ortak böleni 1 sayısıdır.
Aralarında Asal İki Sayı
Aralarında asal iki sayı yalnızca 1 sayısıyla birlikte bölünebilir. Yani asal çarpanlarından yalnızca bir tanesi (o çarpan 1) aynıdır, diğerleri farklıdır. Örneğin 9 ve 14 sayıları aralarında asal iki sayıdır. Çünkü
- 9’un çarpanları (bölenleri) 1, 3 ve 9 dur.
- 14’ün çarpanları (bölenleri) 1, 2, 7 ve 14 tür.
- Her iki sayıda da ortak bölen tek bir sayı vardır o da 1’dir.
Aralarında Asal Olma Şartı Nedir?
n tane sayının aralarında asal olma şartı “1 hariç ortak bölen sayılarının olmamasıdır” diyebiliriz. Örneğin 20, 36 ve 45 sayılarını ele alalım. Aşağıda her bir sayının bölenleri yer alıyor. Dikkat ederseniz bu üç sayının aynı anda birlikte 1 dışında ortak böleni mevcut değil.
- 20 sayısının bölenleri : 1, 2, 4, 5, 10 ve 20
- 36 sayısının bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ve 36
- 45 sayısının bölenleri : 1, 3, 5, 9, 15 ve 45
Burada önemli olan üç sayının da ortak çarpanlarını (bölenleri) bulmak. Sayıları ikişerli olarak ele alırsa hiç biri aralarında asal sayılar olamaz. Fakat üçü birlikteyken 1 dışında bölenleri olmadığından aralarında asal olma şartını sağlarlar.
Aralarında Asal Hesaplaması Nasıl Yapılır?
n tane sayının aralarında asal hesaplamasını yapmak için aşağıdaki yol izlenebilir. Daha farklı yollar da mevcuttur fakat bu yol yeterlidir.
- Her bir sayının ayrı ayrı bölenleri listelenir.
- Tüm sayıların 1 dışındaki bölenleri işaretlenir.
- İşaretlenen en az bir tane bile sayı varsa bu sayılar aralarında asal değildir.
- İşaretlenen hiç bir sayı yoksa bu sayılar aralarında asal sayılardır.
Bir Sayının Bölenlerini Nasıl Hesaplarım ?
Bunun için 60 sayısını ele alalım, çünkü farklı bir çok çarpan ile ifade edilebiliyor. 60 sayısı hangi iki sayının çarpımıdır diye düşünerek ilerleyeceğiz. Bunun için en uçtaki sayıları kullanarak başlamalıyız, yani 1 x 60 = 60 gibi. Sonra iki sayıyı yavaş yavaş birbirine yaklaştırarak işleme devam edeceğiz.
- 1 x 60
- 2 x 30
- 3 x 20
- 4 x 15
- 5 x 12
- 6 x 10
- 7 x ??
- 8 x ??
- 9 x ?
- 10 x 6
Dikkat ederseniz sol taraftaki sayı yavaş artarken diğeri azalıyor. Sayıları ters yazmaya başladığımız anda işlemi durduruyoruz. mesela 6×10 varken 10×6 yazmak aynı bölenleri tekrar yazmak demek oluyor. Burada 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60 bizim aradığımız bölen sayılarıdır.
Aralarında Asal Sayıların EBOB’u
Aralarında asal sayıların EBOB’unun kaç olduğu çok açık zaten. İki sayının en büyük ortak böleni sorulduğuna ve 1 dışında ortak bölenleri olmadığına göre yanıt 1 olacaktır. O halde bu bilgiyi karşınıza çıkan sorularda hap bilgi olarak doğrudan kullanabilirsiniz.
Örneğin “Aralarında asal olan a ve b sayıların en büyük ortak böleni ile …” gibi bir ifade gördüğümüzde yeşil renkli cümleyi görünce 1 sayısını kast ettiğini söyleyebiliriz.
Aralarında Asal Sayıların EKOK’u
Aralarında asal sayıların Ekok’unu hesaplamak yine Ebob’unu hesaplamak kadar kolay. Çünkü olayın mantığını sebebini bilirseniz cevap vermek kolay oluyor. 1 dışında ortak böleni olmayan iki sayının en küçük ortak katı (EKOK) bu sayıların direkt çarpımına eşittir. Bunu hap bilgi olarak kullanabilirsiniz.
Örnek-1
a ve b gibi aralarında asal iki sayının EKOK’u a.b ye eşittir yani bu iki sayının çarpımıdır.
Örnek-2
25 ve 18 sayılarının 1 hariç ortak böleni yoktur. Bu yüzden aralarında asaldır. O halde 18 ve 25’in EKOK’u 18×25 ‘e yani 450 ye eşittir.
Dikkat !!!
Yalnızca aralarında asal iki sayının EKOK’u o sayıların çarpımına daima eşittir. Üç farklı sayı aralarında asal olduğu halde bu üç sayının EKOK’u sayıların çarpımına eşit olmayabilir. Buna dikkat edin. Örnek olarak 5, 6 ve 9 sayılarını ele alalım. Bu üç sayı aralarında asal sayılardır. Fakat EKOK’ları 5.6.9=270 değil, 90 dır.
Aralarında Asal Sayılara Örnek
Yukarıda aralarında asal sayılara örnek olacak sayılar vermiştik. Şimdi biraz daha farklı açıdan bakarak örnek verelim.
Örnek-1
a ve b aralarında asal sayılar olmak üzere a/b = 8/15 olduğuna göre a ve b sayılarının toplamı kaçtır?
Burada dikkat ederseniz a=8 ve b=15 e eşittir. Çünkü daha da sadeleşmiyorlar. Bu halleriyle aralarında asal sayılardır. O halde a+b toplamı 8+15=23 tür.
Örnek-2
a ve b aralarında asal iki sayıdır. a/b = 18/21 olduğuna göre bu sayıların çarpımı kaçtır?
Önceki örnektekinden faklı olarak bu sorudaki a ve b sayıları doğrudan 18 ve 21 ‘e eşit değildir. Çünkü 18 ve 21 sayıları 3 ile sadeleşebilmektedir. Sadeleşmeden sonra a ve b sayıları direk olarak a=6 ve b=7 olarak bulunur. O halde a.b çarpımının sonucu 42 olur.
Aralarında Asal Sayıların Özellikleri
- 1 haricinde ortak bölenleri yoktur.
- Asal sayı olmak zorunda değiller.
- Tek sayı olmak zorunda değiller.
- 1 ile tüm sayılar aralarında asaldır.
- n adet sayın 1 dışında en az bir ortak böleni varsa aralarında asal değillerdir.
Aralarında Asal Sayılar Nelerdir
Bir kere aralarında asal sayılardan söz edebilmek için en az iki sayımız olmalı. Ortak böleni olmamalı , tabii ki 1 hariç. Aralarında asal sayılar ile yalnızca asal sayılar arasında çok fark vardır. Bunlar kimi zaman karıştırılabiliyor. Aralarında asal sayılar nelerdir sorusunun cevabını verebilmek için hangi sayılar olduğunu bilememiz gerekir.
Aralarında Asal Sayılar Soruları
Bu sayfada aralarında asallık ile ilgili temel bazı örnek soruları veriyoruz. Daha fazla sayıda aralarında asal sayılar sorularını başka bir sayfamızda paylaşıyoruz.
İki Sayının Aralarında Asal Olduğunu Nasıl Anlarız?
İki sayının aralarında asal olduğunun test etmenin bir kaç yolu var. Bunlardan en bilineni sayıları asal çarpanlara ayırmak. Asal çarpanlara ayırdıktan sonra ortak çarpan var mı ona bakarız. 1 zaten tüm sayıların bir çarpanıdır. Bunun dışında bir ortak çarpan varsa aralarında asal olmadıklarını söyleriz. Fakat en az bir tane ortak bölen (çarpan) varsa o zaman aralarında sal sayılardır deriz.
Örneğin; 24 ve 45 sayılarını inceleyelim. 24 ün asal çarpanları 2 ve 3 iken 45 sayısının asal çarpanları 3 ve 5 tir. Her iki sayının ortak çarpanı olan 3 sayısı 1’den farklı olduğu için 24 ve 45 sayıları aralarında asal değildir.
1 ile 1 Aralarında Asal mıdır?
İki sayının aralarında asal olması için en büyük ortak bölen sayılarının 1 olması yeterli ve gereklidir. Bu sayıların ikisi de1 olsa bile. 1 ve 1 sayılarının EBOB’u 1 olduğu için 1 ile 1 aralarında asaldır diyebiliriz.
1 ile Aralarında Asal Olan Sayılar Hangileri?
1 sayısı da dahil olmak üzere tüm pozitif tamsayılar 1 ile aralarında asal kabul edilir. Çünkü herhangi bir pozitif tamsayı ile 1 sayısının EBOB’u 1’e eşittir.
İki Asal Sayı Aralarında Asal mı Olur?
Birbirinden farklı olduğu sürece iki asal sayı aralarında asal olur. Yalnızca iki sayı değil, 2’den fazla sayıda olan asal sayılar da aralarında asaldır. Örneğin 5, 11 ve 19 sayılarının en büyük ortak böleni 1 olduğu için, dolayısıyla 1 dışında ortak bölenleri olmadığı için aralarında sal sayılardır deriz.
Ardışık Sayılar Aralarında Asal mıdır?
Ardışık iki ya da daha fazla sayının aralarında asal olup olmadığını öğrenmek için asal çarpanlarını bulup ortak çarpan var mı yok mu bakmanız yeterli olacaktır. Fakat hangi ardışık sayıları alırsanız alın, iki ya da fazla sayıda ardışık sayılar aralarında asal olduğunu görürsünüz. Bu pratik bir bilgidir.
Örneğin 15 ile 16 ya da 8 ile 9 aralarında asaldır.
Çift Sayılar Aralarında Asal mı?
Tüm çift pozitif tamsayılar 2 ile kalansız bölünebilir. Dolayısıyla han iki çift sayıyı örnek alırsak alalım EBOB’ları en az 2 olacaktır. Bu da asalarında asal olma şartını ihlal eder. O halde çift sayılar aralarında asal sayılar olamaz. Örneğin 16 ve 28 çift sayılardır. EBOB’ları hesaplanırsa 4 olarak bulunur. O halde aralarında asal değildirler.
Tek Sayılar Aralarında Asal mıdır?
Tek sayıların aralarında asal olup olmadıkları EBOB’larının alacağı değere bağlı. Örneğin 21 ve 35 sayılarının EBOB’u 7 dir ve 1’den farklıdır. O halde bu iki sayı tek olmalarına rağmen aralarında asal olamaz. Başka bir örnek verelim. Örneğin 35 ve39 ayıları aralarında asaldır. Çünkü EBOB değerleri 1’e eşittir.
