5 Adımda Üslü Denklemler ve Eşitsizlikler

Üslü denklemler ve üslü eşitsizlikler ile ilgili karşınıza çıkabilecek tüm durumları burada ele alacağız. Üslü sayılarda denklemler, 5 farklı tipte karşımıza çıkar. Tabanların ve üslerin eşit olup olmamasına göre gelin ne yapacağımızı hep birlikte görelim.

Eyüp B. Hoca’dan Üslü Denklemler (Konu anlatımı)

Üslü denklemlerin türleri

Üslü ifadelerin tabanları aynıysa
- Üslü denklemlerde tabanlar eşitse kuvvetler de direkt birbirine eşit olur. Ne gördüyseniz o yani.
Üslü sayıların kuvvetleri aynıysa
- Üslü sayılarda denklemlerin kuvvetleri aynı olduğunda iki durum söz konusu olabilir.
- Üslü sayıların kuvveti tek ise, tabanlar direkt birbirine eşit olur.
- Üslü ifadelerin kuvveti çift ise, o zaman tabanlar ya direk birbirine eşit ya da biri diğerinin negatiflisine eşittir.
Üslü sayıların tabanları ve kuvvetleri farklıysa
- Üslü denklemdeki sayıların hem tabanları hem de kuvvetleri faklıysa, bu durumda sayıların tabanlarını ya da kuvvetlerini yukarıdaki 1. ve 2. maddedeki duruma getirmelisiniz.
Üslü sayılarda 1’e eşit olma durumu
- Üslü bir ifadenin 1’e eşit olması üç farklı durumdan birinde olur.
- Taban 1’e eşitse (kuvvetin ne olduğu önemsizdir.)
- Kuvvet sıfıra eşitse (tabii ki taban sıfıra eşit değil)
- Taban -1’e eşitse (kuvveti çift olmalı)
Üslü ifadeler eşit değilse
- Böyle bir durumda üslü eşitsizliklerdeki kurallar geçerli olur.
- a^m < aⁿ eşitsizliğinde a>1 ise m < n olur.
- a^m < aⁿ eşitsizliğinde 0<a<1 ise m>n olur. Yani eşitsizlik yön değiştirir.

14 soruluk Üslü Denklemler Testi için tıklayın.

1. Üslü denklemdeki sayıların tabanları aynıysa

Üslü ifadelerin tabanları aynıysa yeni birbirine eşitse bu durumda üsler (kuvvetler) doğrudan birbirine eşitmiş gibi denklem çözebiliriz. Kısacası üslü denklemdeki tabanlar eşitse üsler de kesinlikle eşittir diyebiliriz. Aşağıdaki örnek sorulara göz atın.

Örnek soru 1

2^2x-3 = 2^x+4 ise x kaçtır?

Çözüm:

Verilen üslü ifadelerin tabanları aynı olduğu için kuvveleri de (üsler) birbirine eşit olur.

2x – 3 = x + 4
x = 7 olur.

Örnek soru 2

a^{8 – n} = a^n-10 olduğuna göre n kaçtır?

Çözüm:

Tabanda sayı yerine harf olması hiç sorun değil, yeter ki aynı olsunlar. Tabanlar eşit olduğu için üsler de eşit olur.

8 – n = n – 10
n = 9 bulunur.

5 Adımda Üslü Sayılarda Sıralama‘yı mutlaka incele

2. Üslü sayıların kuvvetleri aynıysa

Daha öncede söylediğimiz gibi denklemdeki üslü ifadelerin kuvvetleri aynıysa kuvvetlerin tek mi çift mi olduğu kontrol ediyoruz. Eğer kuvvet tek ise direkt üsleri eşitleyerek denklemi çözüyoruz. Fakat kuvvet çift ise o zaman tabaları direk eşitlemek yetmiyor. Bu ek olarak tabanlardan birinin zıt işaretli yaptıktan sonra birbirine eşitliyoruz.

Örneğin;

a²ⁿ = b²ⁿ denkleminde üsler kesin çift olduğu için

a = b
a = -b

eşitliklerini çözmelisiniz. Aşağıdaki çözümlü örnekleri inceleyin.

Örnek soru 3

(2a+4)⁶ = (a+5)⁶

olduğuna göre a’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:

Denklemdeki üslü ifadelerin kuvvetleri çift olduğu için iki durum söz konusu olur.

2a+4 = a+5 ise a=1
2a+4 = -a-5 ise a= -3

bulunur. a’nın alacağı değeler toplamı da 1+(-3) = -2 olur.

Örnek soru 4

(x – 5)⁴ = 81

denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Denklemin sağ tarafındaki sayıyı üzlü oalrak ifade edersek

(x – 5)⁴ = 3⁴

olur. Üslü sayıları kuvvetleri çift olduğu için yine iki durum karşımıza çıkar.

x – 5 = 3 ise x = 8
x – 5 = -3 ise x = 2

O halde yukarıdaki üslü denklemin çözüm kümesi {2, 8} olur.

Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme‘yi görmek isteyebilirsin.

3. Üslü sayıların tabanları ve kuvvetleri farklıysa

Üslü sayılarda denklemler çözerken belki de en çok karşılaştığınız denklem türü bu olsa gerek. Ufak bir düzenleme yapmazsanız denklemi doğrudan bir iki hamleyle çözemezsiniz. Çünkü ya tabanlar ya da üsler eşit olmalı. Bu ikisinden birini (hangisi uygunsa) eşit hale getirmek için ufak bir düzenleme yapmanız gerekecek.

Aşağıdaki örnek soruları dikkatlice inceleyin.

Tabanları aynı yapılabilen üslü denklemler

Örnek soru 5

9^x-2 = 27^x+1 denklemini sağlayan x kaçtır?

Çözüm:

Dikkat ederseniz tabanları 3’ün kuvveti haline getirmek daha kolay. Bu, bizi sonuca götürecek.

(3²)^x-2 = (3³)^x+1
3^{2x – 4} = 3^3x+3

Tabanlar eşit olduğu için üslü ifadelerin kuvvetleri de eşit olur.

2x – 4 = 3x + 3

Burada x = -7 bulunur.

Örnek soru 6

(0,5)^x+2 = 8^x-1 denklemini sağlayan x kaçtır?

Çözüm:

(1/2)^x+2 = (2³)^x-1
1/2 = 2^-1 olduğu için
(2)^-x-2 = 2^3x-3
-x-2 = 3x – 3

Buradan x = 1/4 = 0,25 bulunur.

Örnek soru 7

(4/25)^x-1 = (125/8)^x-1

olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm:

((2/5)²)^x-1 = ((2/5)^-3)^x-1
(2/5)^2x-2 = (2/5)^-3x+3
2x – 2 = -3x + 3

O halde x = 1 buluruz.

Kuvveti aynı yapılabilen üslü denklemler

Örnek soru 8

(x – 2)⁶ = (x² – 3x + 5)³

olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm:

Üsleri aynı yapmak için ikisini de aynı kuvvette yazalım.

[(x – 2)²]⁶ = (x² – 3x + 5)³
(x² – 4x + 4)³ = (x² – 3x + 5)³

Kuvvetler aynı ve tek olduğu için tabanlar birbirine eşit olur.

x² – 4x + 4 = x² – 3x + 5

Denklemi çözersek x = -1 bulunur.

Üslü Sayılarda Toplama Çıkarma İşlemi‘ni gördün mü?

4. Üslü sayılarda 1’e eşit olma durumu

Üslü sayılarda 1’e eşit olma durumundaki denklemlerin özel bir yeri vardır. Aslında zor olmamasına rağmen, genellikle önemli bir kaç durum gözden kaçtığı ya unutulduğu için 1 olma durumu olan üslü denklemleri öğrencileri hatalı çözebiliyor.

(A)ⁿ = 1

i) n tek sayı ise

1’e eşit üslü bir ifadenin kuvveti tek ise taban da 1’e eşittir. Yani A = 1 olur.

ii) n çift sayı ise

1’e eşit olan bir üslü sayının kuvveti çift ise taban ya 1’e ya -1’e eşittir. Yani A=1 ya da A=-1 olur.

iii) n=0 ise

Değeri 1 olan üslü bir ifadenin kuvveti 0 ise tabanı sıfır hariç herhangi bir sayı olabilir. Yani çözüm kümesi R/{0} olur.

Üslü sayılarda 1 olma durumu için soru çözümü

Aşağıdaki örnek üslü denklemleri dikkatlice inceleyin. Önce kendiniz çözmeye çalışın, zorlanırsanız çözümden yardım alabilirsiniz. En kolaydan zora doğru bir kaç soru çözümü yapalım ve üslü sayılarda 1 olma durumuna noktayı koyalım.

Örnek soru 9

x⁹ = 1 ise x kaçtır?

Çözüm:

x=1 dir. Kuvveti tek olduğu için taban direkt 1’e eşit olur.

Örnek soru 10

(2x-9)⁷ = 1 ise x kaçtır?

Çözüm:

1’e eşit olan üslü sayının kuvveti tek sayı olduğundan tabanı 1’e eşit olur.

2x – 9 = 1 ise
x = 5

olarak bulunur.

Örnek soru 11

(2x+5)⁸ = 1 ise x’in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözüm:

Kuvveti çift olan üslü bir ifade eğer 1’e eşitse, demek ki taban ya 1 ya da -1’dir.

2x + 5 = 1 ise x = -2
2x + 5 = -1 ise x = -3

Bulduğumuz x değerlerini toplarsak sonuç -5 olur.

Örnek soru 12

(x+6)⁰ = 1

denkleminin çözüm kümesindeki tamsayıların toplamı kaçtır?

Çözüm:

Kuvveti sıfır olan bir sayının normalde her sayı için sonucu 1 olur diye bilsek de dikkatimizden kaçmaması gereken nokta şu olmalıdır: Tabandaki sayı sıfır olamaz.

Demek ki x=-6 olamıyor. Bunu dışındaki tüm tamsayılar bu üslü denklemi sağlıyor. Çözüm kümesinde +6 sayısını yok edecek olan -6 sayısı bulunamayacağı için, tüm sayıların toplamı 6 olur.