by - Ardışık tek sayıların formülü nedir?
- Ardışık tek sayılar ve türleri
- Ardışık tek sayıların toplamı nasıl bulunur?
- Ardışık tek sayı problemleri
- Ortadaki sayıyı (ortanca) ve diğer terimleri bulma
- Ardışık tek sayıların aritmetik ortalaması nasıl bulunur?
- Aritmetik ortalama örnek soruları
- Ardışık tek sayılar aralarında asal mıdır?
- Ardışık tek sayılar örnek sorular
- Ardışık tek sayılarda toplama formülü (videolu anlatım)
Ardışık tek sayıların toplamı, formülü, aritmetik ortalaması, terim sayısı, ortanca terim bulma ve pek çok şeyi bol örnekli anlatımla ardışık tek sayıların tüm inceliklerini öğreneceksiniz. Ardışık çift sayıları, toplamını ve formülünü önceden incelemiştik. Uygulamada ardışık tek ve çift sayılar birbirine çok benziyor, burada hep beraber göreceğiz.
Ardışık tek sayıların formülü nedir?
Ardışık tek sayıların formülü elbette var fakat ondan önce gelin kısaca nedir sayılar tanımını yapalım. Son rakamı 1, 3, 5, 7 ve 9 rakamlarından oluşan, art arda gelen herhangi iki sayı arasındaki farkı 2’ye eşit olan sayılara ardışık tek sayılar denir.
Bu sayıları formüle dökmek gerekirse, n bir tamsayı olmak üzere
……, 2n-3, 2n-1, 2n+1, 2n+3, 2n+5, …..
şeklinde yazılabilen sayılar olarak da gösterebiliriz.
Artık bir soruda ardışık tek sayılar kelimesi gördüğünüzde en küçük olanını 2n+1 ya da 2n-1 biçiminde tanımlayarak bundan sonra gelen sayıları da yazabiliyoruz. Mutlaka rastlamışsınızdır, problem görünümlü ardışık tek sayı sorularında ilk sayıya 2n+1 diye adlandırdığımızda, diğer sayıları da ifade edebiliyoruz. Böylece gerektiğinde denklemi kurup soruyu tak diye çözmemize yardım olacaktır.
Ardışık tek sayılar ve türleri
Ardışık tek sayıları pozitif, negatif, tamsayı ya da doğal sayı olmasına göre bir kaç başlıkta inceleyeceğiz. Unutmayın ki hepsinin ortak özelliği tek sayı olmaları yani birler basamağındaki rakamın 1, 3, 5, 7 ve 9 rakamlarından biri olmasıdır.
Ardışık pozitif tek sayılar nelerdir?
Bu sayılar pozitif olduğu için en küçük olanı 1’dir. Ardışık pozitif tek sayıların tümünü yazacak olursak aşağıdaki gibi sıralama ortaya çıkar.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …..
Örneğin 21, 23, 25, 27 ardışık dört pozitif tek sayıdır. Ya da 35, 37, 43, 39, 45 ve 41 sayıları da ardışık pozitif tek sayılardır.
Ardışık negatif tek sayılar hangileridir?
Bu sayıların tümü negatiftir. Tümünü yazmak için (-1)’den başlayıp ikişer azalarak sonsuza kadar devam etmeliyiz. En büyük negatif tek sayının -1 olduğunu da untmayalım.
…., -13, -11, -9, -7, -5, -3, -1
Ardışık tek doğal sayılar hangileridir?
Doğal sayılar 0’dan başlar fakat ardışık tek doğal sayılar 1’den başlar. Bundan sonra gelen her sayı öncekinden 2 fazla olacak şekilde devam ederler. Ardışık pozitif tek sayılar ile aynı sayılar kümesidir.
Ardışık tek sayıların toplamı nasıl bulunur?
Ardışık tek sayılarda toplamanın sonucunu bulmak için yine daha önce örnek sorularla anlattığımız TAO metodunu kullanacağız. Aslında ardışık tek sayıların toplamını veren bir formül var, her şey için ayrı ayrı formül ezberlemek sağlıklı olmayabilir. Yine de tercih sizindir. isteyenler formül kullanarak çözebilir, ama biz iki farklı şekilde çözüm yapacağız.
Ardışık tek sayılarda toplama klasik formülle nasıl yapılır?
Ardışık tek sayılarda toplama işlemini klasik formülle yapmak için toplama işleminin aşağıdaki gibi olması gerekiyor.
1+3+5+…….+(2n-1) = n2
- Klasik formülü kullanabilmek için sayıların 1’den başladığını varsayacağız.
- Son terimi yani en büyük sayıyı (2n-1) ‘e eşitleyip n değerini buluruz.
- n sayısının karesini alırız, yani n2 değerini hesaplarız.
- Bulduğumuz bu değer ardışık tek sayılarda toplamın sonucunu verir.
Eğer toplama işlemi 1’den başlamıyorsa, o zaman aynı işlemleri iki defa yaptıktan sonra bulduğumuz sonuçları birbirinden çıkarırız. Aşağıda zaten örnek soru çözümleriyle nasıl yapacağınızı anlatıyoruz.
Soru 1:
1 + 3 + 5 + ….. + 39
toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm (klasik):
Önce klasik formülle çözmeye çalışalım.
2n – 1 = 39
n = 20
Toplam = 202 = 400 olur.
Sondaki sayının 2n-1 olduğunu kabul ederek çözüm yaptık.
…………………………………..
Çözüm (TAO metodu):
Toplamın sonucunu TAO ile hesaplayalım.
T=Toplam, A=Adet, O=Ortanca
T = A . O
A = [(39-1)/2]+1 = 20
O = (39+1)/2 = 20
T = 20.20 = 420 olur
Toplama işlemi 1’den başlamazsa
Peki ya toplama işlemindeki ardışık tek sayılar 1’den başlamazsa nasıl bir çözüm yaparız? Aşağıdaki örneği inceleyelim.
Soru 2:
15 + 17 + 19 + ….. + 29
toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm (klasik yol):
Dikkatlice bakarsanız toplama işlemi 1’den başlamamış. 1’den 13’e kadar olan ardışık tek sayıların toplamı kayıp. Bu durumda 29’a kadar olan tek sayıların toplamından 13’e kadar olanların toplamını birbirinden çıkarmayı düşünmelisiniz.
1+3+5+…+13 için
2n – 1 = 13
n = 7 olur.
Toplamın sonucu 72=49 olur.
1+3+5+…+29 için
2n – 1 = 29
n = 15 olur.
Toplamın sonucu 152=225 olur.
O halde bizden istenen toplamın sonucu
225 – 49 = 176
bulunur.
…………………………………..
Çözüm (TAO metodu):
Toplam = Adet x Ortanca
Adet = [(29-15)/2]+1 = 8
Ortanca = (29+15)/2 = 22
Toplam = 8 x 22 = 176 olur.
TAO metodunu tüm ardışık sayılar için hep aynı uygulayabiliyoruz. Yani her durum için ayrı ayrı formül ezberlemek yerine böyle metotları kullanmak daha uygun gibi geliyor. tercih yine de sizindir.
Eğer ardışık tek sayıların terim sayısı çok değilse
Terim sayısı çok değilse, yani az sayıda ardışık tek sayının toplamı sorulmuşsa o zaman bize göre en iyisi TAO metodu ile çözmek. Aşağıdaki örnek soruları inceleyin.
Soru 3:
15 + 17 + 19
toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm:
3 adet sayı ve ortancası 17
Toplam = 3 x 17 = 51 olur.
…………………………………..
Soru 4:
41 + 43 + 45 + 47 +49
toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm:
Ardışık 5 adet tek sayı var ve ortanca sayı 45’tir.
O halde bu sayıların toplamı
5 x 45 = 225 olur.
…………………………………..
Soru 5:
11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm:
Adet = 7 ve Ortanca sayı = 17
Toplam = 7 x 17 = 119 olur.
Bu soruyu sen çöz.
Soru:
25+27+29+31+33+35+37+39+41
toplamının sonucu kaçtır?
Cevap : 297
Ardışık tek sayı problemleri
Bazen ardışık tek sayı ile ilgili sorular sanki bir problem sorusu gibi karşınıza çıkabiliyor. Bu türden ardışık tek sayı problemleri karşınıza çıkarsa, sorunun içeriğine göre bazen TAO metodunu da kullandığımız oluyor, bazen de ilk sayıya n ya da (2n+1) diyerek de çözüme gittiğimiz de.
Aşağıda örnek soruları inceleyelim.
Soru 6:
Uzunlukları santimetre cinsinden birer ardışık çift sayı olan 5 tane çubuktan en uzun olanı, en kısa olanın 2 katından 1 cm fazladır.
Buna göre, bu çubukların uzunlukları toplamı kaç santimetredir?
A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70
Çözüm:
En kısa çubuğun uzunluğu n cm olsun. bu durumda tüm çubukların uzunlukları sırasıyla
n, (n+2), (n+4), (n+6), (n+8)
santimetre olur.
Sorudaki bilgiye göre denklemi yazarsak.
n +8 = 2.n + 1
n = 7
olur. O halde tüm çubukların uzunlukları toplamı
7 +9 + 11 + 13 + 15 = 55 cm
olur.
Soru 7:
3m, (n+3), (p-2) ve (2m+9)
sayıları küçükten büyüğe sıralı ardışık tek sayılardır.
Buna göre, m+n+p toplamı kaçtır?
A) 15 B) 20 C) 26 D) 29 E) 33
Çözüm:
Ardışık tek sayılar arasındaki fark 2’dir. Bu yüzden (2m+9) sayısı (3m)’den 6 fazladır.
Çözüme buradan başladık, çünkü aynı harflerin olduğu yerden başlarsak çözüm daha kolay oluyor..
(2m+9) – 3m = 6
m = 3
bulunur. O halde m=3 değerini yerine yazarsak diğer sayıları da buluruz.
9, 11, 13, 15
n+3 = 11 ise n = 8
p-2 = 13 ise p = 15
Sayıların toplamı 6+8+15 = 29 olur.
Soru 8:
(a + c), (b – a + 5), (b + c)
sırasıyla küçükten büyüğe doğru sıralanmış ardışık tek sayılardır.
Buna göre, b + c toplamı kaçtır?
A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19
Çözüm:
Art arda gelen herhangi iki sayı arasındaki fark 2’ye eşittir.
O halde (b+c) sayısı (a+c)’den 4 fazladır.
(b+c) – (a+c) = 4
b + c – a – c = 4
b – a = 4
O halde ikinci sayı 4+5=9 olur.
Demek ki sayılarımız sırasıyla 7, 9 ve 11’dir.
(b + c) üçüncü sayımızdır yani doğru cevap 11 olur.
Ortadaki sayıyı (ortanca) ve diğer terimleri bulma
Ardışık tek sayılarda ortanca sayıyı bulurken, ardışık sayılarda yaptığımız gibi ilk ve son sayının aritmetik ortalamasını alıyoruz. Eğer bize ilk ve son terimin kaça eşit olduğu verilmemişse işte o zaman sayıların toplamını ve adedini bilmemiz gerekebilir. Böyle bir durumda ortanca sayıyı bulmak için TAO metodunu kullanmayı tercih ederiz.
Örnek soru 9:
Toplamları 175 olan ardışık yedi tane tek tamsayının en küçük olanı A, en büyük olan B’dir.
Buna göre A.B çarpımı kaçtır?
A) 551 B) 609 C) 589 D) 651 E) 621
Çözüm:
Toplam = Adet x Ortanca (TAO metodu)
175 = 7 . Ortanca
Ortanca = 25 olur.
Bu durumda sayıların tam ortasına 25 sayısı gelecek şekilde 7 tane sayıyı sıralamak için 25’in sağına ve soluna üçer tane ardışık tek sayı yazmalıyız.
19, 21, 23, 25, 27, 29, 31
En küçük sayı A=19, en büyük sayı B=26 oldu.
A.B çarpımı 19.31=589 olur.
Örnek soru 10:
Ali ardışık 8 tane tek sayıyı topladığında 160, Buse ise ardışık 6 çift sayıyı topladığında 144 sonucunu bulmuştur.
Buna göre, Ali’nin yazdığı en büyük sayı Buse’nin yazdığı en küçük sayıdan kaç fazladır?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
Çözüm:
Ali’nin yazdığı ardışık 8 tek sayının toplamı 160 olduğuna göre,
Toplam = Adet x Ortanca
160 = 8.(Ortanca)
ortanca = 20 olur.
Tam ortada 20 sayısı olacak şekilde, bu sayının sağına ve soluna ardışık dörder tane ardışık tek sayı yazalım.
13, 15, 17, 19 ,20, 21, 23, 25, 27
…………………………………..
Benzer şekilde Buse’nin yazdığı ardışık 6 tek sayının toplamı 144 ise,
144 = 6.(Ortanca)
Ortanca = 24 olur.
Altı tane ardışık tek sayının tam ortasında 24 olacak şekilde her iki tarafa 3’er tane sayı yazmalıyız.
19 ,21 , 23, 24, 25, 27, 29
…………………………………..
Son durumda Ali’nin yazdığı en büyük sayı (27), Buse’nin yazdığı en küçük sayıdan (19)
27 – 19 = 8 fazladır.
Ardışık tek sayıların aritmetik ortalaması nasıl bulunur?
Ardışık tek sayıların aritmetik ortalaması diğer tüm ardışık sayı türlerinde olduğu gibi yine ortanca dediğimiz sayıya eşittir. Eğer ortanca (ortadaki sayı) biliyorsanız sayıların aritmetik ortalamasını direkt olarak bulmuşsunuz demektir.
Eğer ortanca sayı görünmüyorsa ya da belli değilse aşağıdaki yollardan herhangi biriyle ardışık tek sayıların aritmetik ortalamasını hesaplayabilirsiniz.
- Sayıların toplamını sayı adedine bölerseniz aritmetik ortalamayı hesaplayabilirsiniz
- İlk ve son terimi toplayıp ikiye bölerek bulabilirsiniz.
- Ortadaki sayıya eşit uzaklıktaki herhangi iki sayının ortalamasını alarak da aritmetik ortalama bulunabilir.
Aritmetik ortalama örnek soruları
Soru 11:
x, y, 21,…….,59, z, t
ardışık tek sayılar olduğuna göre, bu sayıların aritmetik ortalaması kaçtır?
A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 44
Çözüm:
Ortadaki sayıya eşit uzaklıktaki sayı ikilileri
x ile t,
y ile z,
21 ile 59
olur. Dolayısıyla tüm sayıların aritmetik ortalaması
(21 + 59)/2 = 40
olarak bulunur.
Soru 12:
Bir öğretmen tahtaya artan sırada ardışık tek sayılar yazmış ve öğrencilerine
“Baştan 10. sayı ile sondan 14. sayının toplamı 160’a eşittir.” demiştir.
Buna göre, öğretmenin tahtaya yazdığı tüm sayıların aritmetik ortalaması kaçtır?
A) 80 B) 81 C) 82 D) 83 E) 84
Çözüm:
Biz eğer baştan ve sondan 10. ya da baştan ve sondan 14. sayıların toplamını bulursak cevaba yaklaşırız. Aslında buradaki amaç ortadaki sayıya eşit uzaklıkta iki sayının toplamını elde etmek.
Baştan 10. sayı ile sondan 14. sayının toplamı 160 olduğuna göre, baştan ve sondan 10. sayıların toplamı 168 olacaktır.
O halde sayıların aritmetik ortalaması da 168’in yarısına eşit olur.
Cevap 84 bulunur.
Ardışık tek sayılar aralarında asal mıdır?
Ardışık sayıların aralarında asal olduğunu daha önce anlatmıştık. Art arda gelen herhangi iki sayının 1 haricinde ortak böleni olmadığı için aralarında asal olur. Aynı durum ardışık tek sayılar için de geçerlidir. Yani herhangi ardışık iki tek sayı aralarında asaldır.
Ardışık Tek Sayılar Örnek Soruları
(a+9) ve (3a-9) ardışık tek sayılardır.
Buna göre a’nın alacağı değerler toplamı kaçtır?
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30
(a+9) ve (3a-9) ile ilgili her hangi bir sıralama bilgisi verilmemiş. Yani hangisinin daha küçük ya da büyük bilmiyoruz. Fakat ardışık iki tek sayı arasındaki farkın ya 2 ya da -2 olduğunu biliyoruz. Yani çözüm için iki farklı durum vardır.
1. durum
(3a – 9) – (a + 9) = 2
3a – 9 – a – 9 = 2
2a = 20
a = 10 olur.
2. durum:
(3a – 9) – (a + 9) = -2
3a – 9 – a – 9 = -2
2a = 16
a = 8 olur.
O halde a sayısının alacağı değerler toplamı 10+16=26 olur
Ardışık tek sayılarda toplama formülü (videolu anlatım)
Okan Ozata Youtube kanalından “Ardışık Tek Tam Sayıların Toplamı” başlıklı ders videosunu paylaşalım dedik. Umarız size faydası dokunur.
