by Ardışık çift sayıların toplamı ve formülü, aritmetik ortalaması ve ortanca sayı nasıl bulunur? Hepsini konu anlatımı ve onlarca örnek soruyla tam öğrenmeye hazır mısın?
- Ardışık çift sayıların formülü
- Ardışık çift sayılar
- Ardışık çift sayıların toplamı
- Ardışık çift sayı problemleri
- Ortadaki sayı (ortanca) yardımıyla diğerlerini bulma
- Ardışık çift sayıların aritmetik ortalaması
- Ardışık çift sayılar aralarında asal mıdır?
- Ardışık çift sayıların çarpımı
- Ardışık çift sayılar örnek soruları
- Ardışık çift sayılarda toplama formülü (videolu anlatım)
1. Ardışık çift sayıların formülü
Ardışık çift sayılar nedir önce kısaca onu tanımlayalım. n bir tamsayı olmak üzere
2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6,2n+8, ……..
biçiminde yazılabilen sayılara ardışık çift sayılar denir. Aslında yukarıdaki sayıları yazarak bu sayıların modelini ve formülü de belirlemiş oluyoruz.
Bundan sonra ardışık çift sayılar dendiğinde en küçüğüne yani ilk sayıya 2n diyerek diyerek sayıları da tanımlayabiliriz. Özellikle sözel görünümlü ardışık çift sayı problemi sorusu olduğunda ilk sayıya 2n dersek, diğer sayıları da yazabiliriz. Böylece gerektiğinde denklemi kurup soruyu tak diye çözmemize yardım olacaktır.
2. Ardışık çift sayılar
Ardışık çift sayıları bir kaç grupta yazabiliriz. Pozitif, negatif, tamsayı ya da doğal sayı olmasına göre sayılar da değişmektedir.
Ardışık pozitif çift sayılar
Bu çift sayılar pozitif olduğu için en küçük pozitif çift sayı olan 2’den başlar. Dolayısıyla ardışık pozitif çift sayıların tümü aşağıdaki gibi olur.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …..
Ardışık negatif çift sayılar
Bu sayılar negatif olduğu için (-2)’den başlar ve ikişer azalarak sonsuza kadar devam eder. Ardışık negatif çift sayıların en büyüğü -2’dir.
……, -12, -10, -8, -6, -4, -2
Ardışık çift doğal sayılar
Doğal sayılar 0’dan başladığı ve sıfır bir çift sayı olduğu için ardışık çift doğal sayılar 0’dan başlayıp ikişer artarak sonsuza kadar gider. Aşağıda bu sayıları tümü vardır.
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ….
3. Ardışık çift sayıların toplamı
Sevgili gençler, ardışık çift sayılarda toplama işlemini yapmak için ardışık sayılar konu anlatımında değindiğimiz ve sıkça kullandığımız TAO metodunu kullanabilirsiniz. Aslında ardışık çift sayıların toplamını veren bir formül var ama her şeye ayrı ayrı bir formül ezberlemek çok doğru değil. Dileyen kişiler formül kullanarak çözebilir, biz ikisini de göstereceğiz.
Ardışık çift sayıların toplamını klasik formülle hesaplama
Klasik formülümüz 2’den başlayarak ikişer artan sayıların toplamında işe yarışıyor. Yani formülü kullanabilmen için 2’den başladığını kabul ederek, son sayıyı ikiye böl ve bulduğun sayıyı 1 fazlasıyla çarp. Aslında kolay ama yine de ezberlemeniz gerekiyor.
Örnek soru 1:
2 + 4 + 6 + 8 +…..+ 40
toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm (1.yol):
Klasik formülle çözelim. Toplama işlemi 2’den başlıyor. Son sayının yarısı 20’dir. O halde yukarıdaki ardışık çift sayıların toplamı
20.(20+1) = 420 olur.
…………………………………..
Çözüm (2.yol):
Toplamın sonucunu TAO ile hesaplayalım.
Toplam = Adet x Ortanca
Adet = [(40-2)/2]+1 = 20
Ortanca = (40+2)/2 = 21
Toplam = 20.21 = 420 olur
Toplanan ardışık çift sayılar eğer 2’den başlamazsa ne yapmalıyız. Aşağıdaki örneği inceleyelim.
Örnek soru 2:
16 + 18 + 20 + ….. + 30
toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm (1.yol):
Dikkat ettiyseniz 2’den 14’e kadar olan ardışık çift sayılar eksik. O halde yapmamız gereken 30’a kadar olan çift sayıların toplamından 14’e kadar olanların toplamını birbirinden çıkarmak olmalıdır.
2+4+6+…+14 = 7.(7+1) = 56
2+4+6+…+30 = 15.(15+1) = 240
Toplam = 240 – 56 = 184 bulunur.
…………………………………..
Çözüm (2.yol):
Toplam = Adet x Ortanca
Adet = [(30-16)/2]+1 = 8
Ortanca = (16+30)/2 = 23
Toplam = 8 x 23 = 184 olur.
Az sayıda ardışık çift sayının toplamı
Bir elin parmakları kadar ardışık çift sayının toplamı sorulmuşsa o zaman bizce en iyisi TAO metodunu kullanmanızdır. Zaten bir kere alıştınız mı artık her türlü ardışık sayıların toplamı sorusunda bu metodu kullanırsınız. Aşağıdaki örnek soruları inceleyin.
Örnek soru 3:
24 + 26 + 28 toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm:
Adet = 3 ve Ortanca = 26
Toplam = 3 x 26 = 78 olur.
…………………………………..
Örnek soru 4:
40 + 42 + 44 + 46 +48
toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm:
Adet = 5 ve Ortanca = 44
Toplam = 5 x 44 = 220
…………………………………..
Örnek soru 5:
10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22
toplamının sonucu kaçtır?
Çözüm:
Adet = 7 ve Ortanca = 16
Toplam = 7 x 16 = 112
Bunu da sen çöz.
Cevap : (C+72)/9
4. Ardışık çift sayı problemleri
Bazı ardışık çift sayı soruları problem sorusu gibi sözel olarak karşımıza gelebilir. Bu şekildeki ardışık çift sayı problemlerinde sorunun tarzına göre TAO metodunu da kullanabilirsiniz, ilk sayıya x ya da 2x diyerek de çözüme gidebilirsiniz. Aşağıda birkaç örnek soru var.
Örnek soru 6:
Yaşları ardışık bir çift sayı olan altı kardeşten en büyüğünün yaşı, en küçüğünün yaşının 3 katından 2 eksiktir.
Buna göre bu kardeşlerin yaşları toplamı kaçtır?
A) 54 B) 60 C) 66 D) 72 E) 78
Çözüm:
En küçük kardeşin yaşına x diyelim. O halde tüm kardeşlerin yaşları sırasıyla
x, (x+2), (x+4), (x+6), (x+8) ve (x+10)
olur.
Sorudaki bilgiye göre denklemi kuralım.
x+10 = 3x – 2
x = 6
olur. Altı kardeşin yaşları 6, 8, 10, 12, 14, 16 olduğuna göre toplamları 66 bulunur.
Örnek soru 7:
3a, 2b, c+1 ve 6a
sayıları küçükten büyüğe doğru sıralı birer ardışık çift sayı olduğuna göre, a+b+c toplamı kaçtır?
A) 15 B) 13 C) 16 D) 12 E) 14
Çözüm:
Ardışık çift sayılar ikişer arttığı için aralarındaki fark her zaman 2’dir. Bu yüzden 6a ile 3a arasında 6 fark olur. Çözüme buradan başladık çünkü aynı harfin olması işlemi kolaylaştırıyor.
6a – 3a = 6
3a = 6
a = 2 olur.
O halde a=2 yerine yazılırsa diğer sayılar da bulunur.
6, 8, 10, 12
2b = 8 ise b=4
c+1 = 10 ise c=9
a + b + c toplamı 2+4+9=15 olur.
Örnek soru 8:
(a + b), (b + c), (6c – 6a) sırasıyla birer ardışık çift sayıdır.
Buna göre, b+c toplamı kaçtır?
A) 12 B) 10 C) 14 D) 8 E) 16
Çözüm:
Art arda gelen herhangi iki sayı arasındaki fark 2’ye eşit olduğundan
(b+c) – (a+b) = 2 olur.
b+ c – a – b = 2
c – a = 2
O halde üçüncü sayı 6.(c-a) olduğu için 6.2=12 olur.
Demek ki sayılarımız sırasıyla 8, 10 ve 12 dir.
(b+c) ikinci sayı olduğu için doğru cevap 10 yani B seçeneği olur
5. Ortadaki sayı (ortanca) yardımıyla diğerlerini bulma
Ardışık çift sayılarda ortanca sayıyı bulma, tıpkı normal ardışık sayı sorularında olduğu gibi ilk ve son sayının aritmetik ortalaması alınarak yapılır. Eğer ilk ve son sayının (terim) kaç olduğunu bilmiyorsak o zaman toplam ve adet bilgisine ihtiyacımız olur. Yani bu sefer TAO metodu ile ortanca sayıya ulaşabiliriz.
Örnek soru 9:
Toplamları 180 olan ardışık 15 çift tamsayının en küçük ve en büyük olanları bulalım.
Çözüm:
Toplam = Adet x Ortanca (TAO)
180 = 15 . Ortanca
Ortanca sayı 12 olur. O halde tam ortada 12 olacak şekilde 15 tane sayıyı sıralama için ortanca sayının sağına ve soluna 7’şer tane ardışık çift sayı yazmalıyız.
-2, 0, 2 ….., 12, …….22, 24, 26
Gördüğünüz gibi en küçük sayı -2, en büyük sayı 26 oldu.
Örnek soru 10:
A torbasında numaraları ardışık çift sayılar olan 8 top, B torbasında ise numaraları ardışık birer çift sayılan 6 top vardır. A torbasındaki numaraların toplamı 200, B torbasındaki numaraların toplamı 270’tir.
Buna göre B torbasındaki en küçük numaralı top ile A torbasındaki en büyük numaralı top üzerindeki sayıların farkı kaçtır?
A) 8 B) 10 C) 14 D) 16 E) 18
Çözüm:
A torbasındaki ardışık 8 çift sayının toplamı 200 ise
200 = 8.(Ortanca)
ortanca = 25 olur.
Ortada 25 olacak şekilde sağında ve solunda 4’er tane çift sayı yazmalıyız.
18,20,22,24,25,26,28,30,32 (A torbası)
…………………………………..
Benzer şekilde B torbasındaki ardışık 6 çift sayının toplamı 270 ise
270 = 6.(Ortanca)
Ortanca = 45 olur.
Altı tane sayının tam ortasında 25 olacak şekilde sağa ve sola 3’er tane çift sayı yazmalıyız.
40, 42, 44, 45, 46, 48, 50 (B torbası)
…………………………………..
O halde B torbasındaki en küçük sayı ile A torbasındaki en büyük sayının farkı
40 – 32 = 8 olur. Cevap A seneğidir.
6. Ardışık çift sayıların aritmetik ortalaması
Ardışık çift sayıların aritmetik ortalamasını aslında ortadaki sayıya yani ortanca dediğimiz sayıya eşittir. Eğer ortadaki sayı zaten biliniyorsa aritmetik ortalamayı zaten bulmuşuz demektir. Eğer ortanca sayı görünmüyorsa ya da belli değilse aşağıdaki yollardan herhangi biriyle ardışık çift sayıların aritmetik ortalamasını bulabiliriz.
- Sayıların toplamını sayı adedine bölerek
- İlk ve son sayının aritmetik ortalamasını alarak
- Ortadaki sayıya eşit uzaklıktaki herhangi iki sayının ortalamasını alarak
Örnek soru 11:
a, b, 18,…….,82, c, d
ardışık çift sayılar olduğuna göre, bu sayıların aritmetik ortalaması kaçtır?
Çözüm:
a ile d, b ile c ve 18 ile 82 sayı çiftleri ortadaki sayıya eşit uzaklıktadır. O halde tüm sayıların aritmetik ortalaması
(18 + 82)/2 = 50
olur.
Örnek soru 12:
Bir öğrenci defterine küçükten büyüğe doğru sıralanmış ardışık çift sayılar yazmış ve kağıdın arkasına
“Baştan 12. sayı ile sondan 15. sayının toplamı 100’e eşittir.” notunu düşmüştür.
Buna göre, öğrencinin yazdığı tüm sayıların aritmetik ortalaması kaçtır?
A) 50 B) 51 C) 52 D) 53 E) 54
Çözüm:
Biz eğer baştan ve sondan 12. sayıların toplamını bulursak cevaba yaklaşırız. Baştan 12. sayı ile sondan 15. sayının toplamı 100 olduğuna göre, baştan ve sondan 12. sayıların toplamı 106 olacaktır.
O halde sayıların aritmetik ortalaması da ortanca sayıya yani 106’nın yarısına eşit olur.
Cevap 53 yani D seçeneği bulunur.
7. Ardışık çift sayılar aralarında asal mıdır?
Daha önce ardışık sayıların örnek sorularla aralarında asal olup olmadığı anlatmıştık. Art arda gelen herhangi iki sayının 1 haricinde ortak böleni olmadığı için aralarında asal olur. Fakat bu durum ardışık çift sayılar için geçerli değil. Çünkü tümü çift olduğu için, 1’den 2 sayısına da bölünebiliyorlar. O halde ardışık çift sayılar aralarında asal olamaz.
8. Ardışık çift sayıların çarpımı
Ardışık çift sayıların çarpımını hesaplamak için sayıların kaç olduğu önem taşıyor. Zira eğer içinde sıfır olan ardışık sayılar ise çarpımın sonucu tabii ki sıfır olacaktır.
Eğer ilk sayısı 2 olan ardışık çift sayıların çarpımını aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
Örnek soru 13:
2.4.6.8.10. …….. 48.50
çarpımının eşiti nedir?
Çözüm:
çarpımı oluştura tüm sayılar çift olduğu için hepsinde de çarpan olarak 2 vardır. Toplam 50/2 yani 25 adet ardışık çift sayının çarpıldığını görüyoruz. O halde toplam 25 tane de 2 çarpanı vardır. Soruda verilen çarpımsal ifadeyi aşağıdaki gibi yazabiliriz.
(1.2).(2.2).(3.2).(4.2)……(24.2).(25.2)
(1.2.3.4……25).225
25! . 225
9. Ardışık Çift Sayılar Örnek Soruları
(n+6) ve (2n-8) ardışık çift sayılardır.
Buna göre n’nin alacağı değerler toplamı kaçtır?
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30
Soruda verilen sayıların hangisinin küçük ya da büyük olduğu söylenmemiş. Fakat bildiğimiz kesin bir şey var. O da ardışık iki sayı arasındaki fark ya 2 ya da -2 olur.
1. durum
(2n -8) – (n+6) = 2
2n – 8 – n – 6 = 2
n = 16 olur.
2. durum:
(2n -8) – (n+6) = -2
2n – 8 – n – 6 = -2
n = 12 olur.
halde n sayısının alacağı değerler toplamı 12+16=28 olur
